Matricele sunt obiecte matematice care transformă forme. Determinantul unei matrice pătrate A, notat |A|, este un număr care rezumă efectul pe care A îl are asupra dimensiunii și orientării unei figuri. Dacă [ab] este vectorul rând de sus pentru A și [cd] este vectorul rândului său de jos, atunci |A| = ad-bc.
Un determinant codifică informații utile despre modul în care o matrice transformă regiuni. Valoarea absolută a determinantului indică factorul de scară al matricei, cât de mult întinde sau micșorează o figură. Semnul său descrie dacă matricea răstoarnă figurile, dând o imagine în oglindă. De asemenea, matricele pot deforma regiuni și le pot roti, dar această informație nu este furnizată de determinant.
Din punct de vedere aritmetic, acțiunea de transformare a unei matrice este determinată de înmulțirea matricei. Dacă A este o matrice 2 × 2 cu rândul de sus [ab] și rândul de jos [cd], atunci [1 0] * A = [ab] și [0 1] * A = [cd]. Aceasta înseamnă că A duce punctul (1,0) la punctul (a,b) și punctul (0,1) la punctul (c,d). Toate matricele lasă originea nemișcată, așa că se vede că A transformă triunghiul cu punctele de capăt la (0,0), (0,1) și (1,0) într-un alt triunghi cu punctele de capăt la (0,0), (a ,b) și (c,d). Raportul dintre aria acestui nou triunghi și cea a triunghiului original este egal cu |ad-bc|, valoarea absolută a |A|.
Semnul determinantului unei matrice descrie dacă matricea răstoarnă o formă. Luând în considerare triunghiul cu capete la (0,0), (0,1) și (1,0), dacă o matrice A menține punctul (0,1) staționar în timp ce duce punctul (1,0) la punctul (-1,0), atunci a răsturnat triunghiul peste dreapta x = 0. Deoarece A a răsturnat figura, |A| va fi negativ. Matricea nu modifică dimensiunea unei regiuni, deci |A| trebuie să fie -1 pentru a fi în concordanță cu regula că valoarea absolută a lui |A| descrie cât de mult întinde A o figură.
Aritmetica matriceală urmează legea asociativă, adică (v*A)*B = v*(A*B). Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că acțiunea combinată de transformare mai întâi a unei forme cu matricea A și apoi transformarea formei cu matricea B este echivalentă cu transformarea formei originale cu produsul (A*B). Din această observație se poate deduce că |A|*|B| = |A*B|.
Ecuația |A| * |B| = |A*B| are o consecință importantă atunci când |A| = 0. În acest caz, acțiunea lui A nu poate fi anulată de o altă matrice B. Acest lucru poate fi dedus notând că, dacă A și B sunt inverse, atunci (A*B) nici nu întinde și nici nu întoarce nicio regiune, deci |A* B| = 1. Deoarece |A| * |B| = |A*B|, această ultimă observație duce la ecuația imposibilă 0 * |B| = 1.
Afirmația inversă poate fi de asemenea prezentată: dacă A este o matrice pătrată cu determinant diferit de zero, atunci A are un invers. Geometric, aceasta este acțiunea oricărei matrice care nu aplatizează o regiune. De exemplu, strângerea unui pătrat într-un segment de linie poate fi anulată de o altă matrice, numită inversă. Un astfel de invers este analogul matricei al unei reciproce.