Conjectura Poincaré este una dintre cele mai importante presupuneri din matematica modernă și în prezent a fost demonstrată în mod adecvat până la punctul în care este considerată o teoremă completă. Este una dintre cele șapte Probleme ale Premiului Mileniului, declarate de Institutul de Matematică Clay în 2000. Până în prezent, este singura dintre Problemele Premiului Mileniului care a fost rezolvată, iar soluția sa a fost văzută ca una dintre cele mai importante descoperiri ale noul mileniu.
La începutul secolului al XX-lea, un matematician francez, Henri Poincaré, a început să stabilească ceea ce va servi drept bază pentru domeniul matematic al topologiei. Unul dintre obiectivele sale principale a fost asupra proprietăților sferelor și a cheltuit multă atenție și energie pentru a contura sfera. El a pus o serie de întrebări, dar cea mai faimoasă a fost formulată astfel: „Luați în considerare o varietate compactă tridimensională V fără graniță. Este posibil ca grupul fundamental al lui V să fie banal, chiar dacă V nu este homeomorf pentru sfera tridimensională?” Deși nu a făcut niciodată o declarație concretă într-un fel sau altul, aceasta va ajunge să fie cunoscută sub numele de Conjectura Poincaré.
Forma mai comună a Conjecturii Poincaré este pur și simplu: Fiecare 3-varietate închisă, pur și simplu conectată, este homeomorfă celei 3-sfere. Conjectura Poincaré a fost, de asemenea, generalizată la dimensiuni de peste trei, de forma n-sferă. Deși inițial se credea că Conjectura Poincaré în sine ar fi adevărată, s-a crezut că Conjectura Poincaré Generalizată s-ar dovedi a fi falsă. Prin urmare, a fost o surpriză atunci când Conjectura Generalizată Poincaré a fost dovedită pentru dimensiuni mai mari de patru în 1961, iar apoi în 1982, când cazul cu 4 sfere s-a dovedit a fi adevărat.
În 1982, Richard Hamilton a arătat că Conjectura Poincaré era adevărată într-un număr de cazuri specializate, dar nu a putut să o demonstreze în mod mai general. În anul 2000, Institutul de Matematică Clay a inclus Conjectura Poincaré în Problemele sale Milennium Prize, oferind un premiu de 1,000,000 de dolari SUA (USD) pentru o soluție dovedită în mod satisfăcător. În 2002 și 2003, matematicianul Grigori Perelman a publicat două lucrări care au prezentat o schiță pentru o demonstrație a Conjecturii Poincaré.
În 2006, o serie de grupuri de lucru au completat mici lacune incidentale în munca lui Perelman, iar John Morgan și Gang Tian au scris-o ca o dovadă detaliată. În cele din urmă, au extins acest lucru într-o carte despre Conjectura Poincaré, iar în 2006 Morgan a declarat că Perelman a rezolvat problema în 2003. Pentru munca sa, Perelman a primit medalia Fields, dar a refuzat-o. Deși a rezolvat din punct de vedere tehnic și Premiul Mileniului și, prin urmare, este eligibil pentru a primi 1 milion USD, nu a întreprins pașii necesari pentru a revendica premiul.
Rezolvarea Conjecturii Poincaré a fost privită ca o mare descoperire în matematică și una dintre cele mai importante dovezi ale noului mileniu. La sfârșitul anului 2006, revista Science a numit soluția la Conjectura Poincaré drept Descoperirea științifică a anului. Aceasta a fost prima dată când onoarea a fost acordată vreodată unei descoperiri în matematică pură.