Funcția delta Kronecker, notată δi,j, este o funcție binară care este egală cu 1 dacă i și j sunt egale și este egală cu 0 în caz contrar. Deși din punct de vedere tehnic este o funcție a două variabile, în practică este folosită ca prescurtare notațională, permițând redactarea compactă a afirmațiilor matematice complicate. Matematicienii, fizicienii și inginerii care lucrează în algebra liniară, analiza tensorilor și procesarea digitală a semnalului folosesc funcția delta Kronecker ca un mijloc pentru a transmite într-o singură ecuație ceea ce altfel ar putea necesita mai multe rânduri de text.
Această funcție este folosită cel mai frecvent pentru a simplifica scrierea ecuațiilor care implică notația sigma, care este ea însăși o metodă concisă de referire la sume complicate. De exemplu, dacă o companie are 30 de angajați {e1, e2 … e30} și fiecare angajat lucrează un număr diferit de ore {h1, h2 … h30} la un tarif orar diferit {r1, r2 … r30}, suma totală a banilor plătiți acestor angajați pentru munca lor este egal cu e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Matematicienii pot scrie acest lucru concis ca ∑i ei*hi*ri.
Când descriu sisteme fizice care implică mai multe dimensiuni, fizicienii trebuie să folosească în mod frecvent însumări duble. Aplicațiile științifice practice sunt foarte complexe, dar un exemplu concret arată cum funcția delta Kronecker poate simplifica expresiile în aceste cazuri.
Într-un mall există trei magazine de îmbrăcăminte, fiecare vânzând o marcă diferită. Sunt disponibile în total 20 de stiluri de cămăși: opt oferite de magazinul 1, șapte oferite de magazinul 2 și cinci oferite de magazinul 3. Sunt disponibile douăsprezece stiluri de pantaloni: cinci la magazinul 1, trei la magazinul 2 și patru la magazinul 3. Se pot cumpăra 240 de ținute posibile, deoarece există 20 de variante pentru cămașă și 12 variante pentru pantaloni. Fiecare combinație dă o ținută diferită.
Nu este la fel de simplu să calculezi numărul de moduri de a selecta o ținută în care cămașa și pantalonii sunt din diferite magazine. Se poate alege o cămașă din magazinul 1 și pantalonii din magazinul 2 în 8*3 moduri. Există 8*4 moduri de a selecta o cămașă din magazinul 1 și pantalonii din magazinul 3. Continuând în acest mod, se găsește că numărul total de ținute care folosesc articole din diferite magazine este 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
S-ar putea considera disponibilitatea cămășilor și pantalonilor ca două secvențe, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} și {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Apoi funcția delta Kronecker permite ca această sumă să fie scrisă ca simplu ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Termenul (1- δi,j) elimină acele ținute cuprinzând o cămașă și pantaloni cumpărate de la același magazin deoarece în acest caz i = j, deci δi,j = 1 și (1- δi,j) = 0. Înmulțirea termenului cu 0 îl îndepărtează din sumă.
Funcția delta Kronecker este folosită cel mai frecvent atunci când se analizează spații multidimensionale, dar poate fi folosită și atunci când se studiază spații unidimensionale, cum ar fi dreapta numerică reală. În acest caz, este adesea folosită o variantă cu o singură intrare: δ(n) = 1 dacă n = 0; δ(n) = 0 în caz contrar. Pentru a vedea cum funcția delta Kronecker poate fi utilizată pentru a simplifica declarații matematice complexe despre numerele reale, s-ar putea lua în considerare următoarele două funcții ale căror intrări sunt fracții simplificate:
f(a/b) = a dacă a =b+1, f(a/b) = -b dacă b=a+1 și f(a/b) = 0 în caz contrar.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Funcțiile f și g sunt identice, dar definiția pentru g este mai compactă și nu necesită limba engleză, așa că poate fi înțeleasă de orice matematician din lume.
După cum este ilustrat de aceste exemple, intrările funcției delta Kronecker sunt de obicei numere întregi care sunt conectate la o anumită secvență de valori. Distribuția delta Dirac este un analog continuu al funcției delta Kronecker utilizată la integrarea funcțiilor, mai degrabă decât la însumarea secvențelor.