Un coset este un tip specific de subset al unui grup matematic. De exemplu, s-ar putea lua în considerare mulțimea tuturor multiplilor integrali ai lui 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …}, care poate fi notat ca 7Z. Adăugând 3 la fiecare număr se generează mulțimea {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, pe care matematicienii o descriu ca 7Z + 3. Această ultimă mulțime se numește setul lui 7Z generat de 3.
Există două proprietăți importante ale lui 7Z. Dacă un număr este un multiplu al lui 7, la fel este inversul său aditiv. Inversul aditiv al lui 7 este -7, inversul aditiv al lui 14 este -14 și așa mai departe. De asemenea, adăugarea unui multiplu de 7 la un alt multiplu de 7 produce un multiplu de 7. Matematicienii descriu acest lucru spunând că multiplii lui 7 sunt „închiși” sub operația de adunare.
Aceste două caracteristici sunt motivul pentru care 7Z este numit un subgrup al numerelor întregi aflate în adunare. Doar subgrupurile au clase. Mulțimea tuturor numerelor cubice, {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …}, nu are clasete în același mod ca 7Z deoarece nu este închisă la adunare: 1 + 8 = 9, iar 9 nu este un număr cubic. În mod similar, mulțimea tuturor numerelor pare pozitive, {2, 4, 6, …}, nu are seturi pentru că nu conține inverse.
Motivul pentru aceste prevederi este că fiecare număr ar trebui să fie într-un singur grup. În cazul lui {2, 4, 6, …}, 6 este în setul generat de 4 și este în setul generat de 2, dar acele două clase nu sunt identice. Aceste două criterii sunt suficiente pentru a se asigura că fiecare element se află într-un singur set.
Coseturile există în orice grup, iar unele grupuri sunt mult mai complicate decât numerele întregi. Un grup util pe care s-ar putea lua în considerare este setul tuturor modalităților de a muta un pătrat fără a schimba regiunea pe care o acoperă. Dacă un pătrat este rotit cu 90 de grade, nu există nicio schimbare aparentă a formei. În mod similar, poate fi răsturnat vertical, orizontal sau pe oricare diagonală fără a schimba regiunea pe care o acoperă pătratul. Matematicienii numesc acest grup D4.
D4 are opt elemente. Două elemente sunt considerate identice dacă lasă toate colțurile în același loc, așa că rotirea pătratului în sensul acelor de ceasornic de patru ori este considerată la fel ca a nu face nimic. Având în vedere acest lucru, cele opt elemente pot fi notate e, r, r2, r3, v, h, dd și dd. „e” se referă la a nu face nimic, iar „r2” înseamnă a face două rotații. Fiecare dintre ultimele patru elemente se referă la răsturnarea pătratului: vertical, orizontal sau de-a lungul diagonalelor sale înclinate în sus sau în jos.
Numerele întregi sunt un grup abelian, ceea ce înseamnă că operația sa îndeplinește legea comutativă: 3 + 2 = 2 + 3. D4 nu este abelian. Rotirea unui pătrat și apoi răsturnarea lui orizontal nu mișcă colțurile în același mod ca și răsturnarea lui și apoi rotirea lui.
Când lucrează în grupuri necomutative, matematicienii folosesc de obicei un * pentru a descrie operația. Un pic de lucru arată că rotirea pătratului și apoi răsturnarea lui orizontal, r * h, este același lucru cu răsturnarea lui pe diagonala sa în jos. Astfel r * h = dd. Întoarcerea pătratului și apoi rotirea acestuia este echivalentă cu răsturnarea lui pe diagonala sa în sus, deci r * h = du.
Ordinea contează în D4, așa că trebuie să fiți mai precis când descriem seturi. Atunci când se lucrează cu numere întregi, expresia „cosetul lui 7Z generat de 3” este lipsit de ambiguitate, deoarece nu contează dacă 3 este adăugat la stânga sau la dreapta fiecărui multiplu al lui 7. Pentru un subgrup de D4, totuși, vor fi diferite ordine. creați diferite clase. Pe baza calculelor descrise mai devreme, r*H, setul din stânga al lui H generat de r — este egal cu {r, dd}, dar H*r este egal cu (r, du}. Cerința ca niciun element să nu fie în două clase diferite nu se aplică când se compară clasele din dreapta cu cele din stânga.
Seturile din dreapta ale lui H nu se potrivesc cu seturile din stânga. Nu toate subgrupurile de D4 au această proprietate. Se poate considera subgrupul R al tuturor rotațiilor pătratului, R={e, r, r2, r3}.
Un mic calcul arată că seturile din stânga sunt aceleași cu cele din dreapta. Un astfel de subgrup se numește subgrup normal. Subgrupurile normale sunt extrem de importante în algebra abstractă, deoarece codifică întotdeauna informații suplimentare. De exemplu, cele două seturi posibile ale lui R echivalează cu cele două situații posibile „pătratul a fost răsturnat” și „pătratul nu a fost răsturnat”.