Ce este un punct de inflexiune?

Punctul de inflexiune este un concept important în calculul diferenţial. În punctul de inflexiune, curba unei funcții își schimbă concavitatea – cu alte cuvinte, se schimbă de la curbura negativă la curbura pozitivă sau invers. Acest punct poate fi definit sau vizualizat în moduri diferite. În aplicațiile din lumea reală în care un sistem este modelat folosind o curbă, găsirea punctului de inflexiune este adesea critică în anticiparea comportamentului sistemului.

Funcțiile din calcul pot fi reprezentate grafic pe un plan format dintr-o axă x și y, numit plan cartezian. În orice funcție dată, valoarea x, sau valoarea care este intrarea în ecuație, produce o ieșire, reprezentată de valoarea y. Când sunt reprezentate grafic, aceste valori formează o curbă.

O curbă poate fi fie concavă în sus, fie concavă în jos, în funcție de comportamentul funcției la anumite valori. O regiune concavă în sus apare pe un grafic ca o curbă asemănătoare unui bol care se deschide în sus, în timp ce o regiune concavă în jos se deschide în jos. Punctul în care se modifică această concavitate este punctul de inflexiune.

Există câteva metode diferite care pot fi utile în vizualizarea unde se află punctul de inflexiune pe o curbă. Dacă s-ar plasa un punct pe curbă cu o linie dreaptă trasă prin el, care doar atinge curba – o linie tangentă – și ar rula acel punct de-a lungul cursului curbei, punctul de inflexiune ar apărea exact în punctul în care tangenta. linia traversează curba.

Matematic, punctul de inflexiune este punctul în care derivata a doua își schimbă semnul. Prima derivată a unei funcții măsoară rata de schimbare a unei funcții pe măsură ce intrarea ei se modifică, iar derivata a doua măsoară modul în care această rată de schimbare în sine se poate schimba. De exemplu, viteza unei mașini la un moment dat este reprezentată de prima derivată, dar accelerația ei – viteza crescătoare sau descrescătoare – este reprezentată de derivata a doua. Dacă mașina accelerează, derivata a doua este pozitivă, dar în punctul în care încetează să accelereze și începe să încetinească, accelerația și derivata a doua devin negative. Acesta este punctul de inflexiune.

Pentru a vizualiza acest lucru grafic, este important să ne amintim că concavitatea curbei unei funcții este exprimată prin derivata a doua a acesteia. O derivată secundă pozitivă indică o curbă concavă în sus, iar o derivată secundă negativă indică o curbă concavă în jos. Este dificil să se precizeze punctul exact de inflexiune pe un grafic, așa că pentru aplicațiile în care este necesar să se cunoască valoarea exactă a acestuia, punctul de inflexiune poate fi rezolvat matematic.
O metodă de a găsi punctul de inflexiune al unei funcții este să luați derivata a doua a acesteia, să o setați egală cu zero și să rezolvați pentru x. Nu orice valoare zero din această metodă va fi un punct de inflexiune, așa că este necesar să testați valorile de ambele părți ale lui x = 0 pentru a vă asigura că semnul derivatei a doua se schimbă de fapt. Dacă se întâmplă, valoarea de la x este un punct de inflexiune.