Multe ecuații pot fi simplificate prin extinderea logaritmilor. Termenul „logaritmi de expansiune” nu se referă la logaritmi care se extind, ci mai degrabă la un proces prin care o expresie matematică este înlocuită cu alta conform unor reguli specifice. Există trei astfel de reguli. Fiecare dintre ele corespunde unei anumite proprietăți a exponenților, deoarece luarea unui logaritm este inversul funcțional al exponențiației: log3(9) = 2 deoarece 32= 9.
Cea mai comună regulă pentru extinderea logaritmilor este folosită pentru a separa produsele. Logaritmul unui produs este suma logaritmilor respectivi: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Această ecuație este derivată din formula ax * ay = ax+y. Poate fi extins la mai mulți factori: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Ridicarea unui număr la o putere negativă echivalează cu ridicarea reciprocă a acestuia la o putere pozitivă: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Proprietatea echivalentă pentru logaritmi este aceea că loga(1/x) = -loga(x). Când această proprietate este combinată cu regula produsului, ea oferă o lege pentru luarea logaritmului unui raport: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Regula finală pentru extinderea logaritmilor se referă la logaritmul unui număr ridicat la o putere. Folosind regula produsului, se constată că loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). În mod similar, loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). În general, loga(xn) = n*loga(x), chiar dacă n nu este un număr întreg.
Aceste reguli pot fi combinate pentru a extinde expresii jurnal cu caracter mai complex. De exemplu, se poate aplica a doua regulă la loga(x2y/z), obținând expresia loga(x2y) – loga(z). Atunci prima regulă poate fi aplicată primului termen, rezultând loga(x2) + loga(y) – loga(z). În cele din urmă, aplicarea celei de-a treia reguli conduce la expresia 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Extinderea logaritmilor permite rezolvarea rapidă a multor ecuații. De exemplu, cineva ar putea deschide un cont de economii cu 400 USD. Dacă contul plătește 2% dobândă anuală compusă lunar, numărul de luni necesare înainte ca valoarea contului să se dubleze poate fi găsit cu ecuația 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Împărțirea la 400 are randamente (1 + 0.02/). 12)m = 2. Luând logaritmul în bază 10 al ambelor părți generează ecuația log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Această ecuație poate fi simplificată folosind regula puterii la m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Folosind un calculator pentru a găsi logaritmii, rezultă m*(0.00072322) = 0.30102. Rezolvând pentru m, se constată că va dura 417 luni pentru ca valoarea contului să se dubleze dacă nu se depun bani suplimentari.