Ένα διανυσματικό πεδίο είναι μια συνάρτηση που εκχωρεί διανύσματα σε διαφορετικά σημεία του χρόνου και του χώρου. Υπάρχουν δύο τύποι διανυσματικών πεδίων: διανυσματικά πεδία ταχύτητας και πεδία δύναμης. Τα διανυσματικά πεδία μελετώνται στον διανυσματικό λογισμό τόσο από μαθηματικούς όσο και από φυσικούς.
Ένα διάνυσμα θεωρείται ως ένα βέλος που ξεκινά από την αρχή ενός επιπέδου και πηγαίνει σε ένα σημείο του χώρου. Αυτό το σημείο είναι βασικά ένα ζεύγος αριθμών που μπορούν να απεικονιστούν στον Ευκλείδειο χώρο. Τα διανύσματα μελετώνται στη φυσική και τα μαθηματικά και χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της ταχύτητας και της δύναμης. Όταν προστεθούν δύο διανύσματα, το αποτέλεσμα είναι μια δύναμη δύο μεμονωμένων δυνάμεων, που ασκούνται στο ίδιο αντικείμενο ταυτόχρονα. Πολλά διανύσματα αποτελούν ένα διανυσματικό πεδίο, και αυτό χρησιμοποιείται για να συμβολίσει δυνάμεις σε όλα τα σημεία του χρόνου και του χώρου.
Το πεδίο ορισμού ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένα σύνολο σημείων και το εύρος του είναι ένα σύνολο διανυσμάτων. Έτσι, ένα διανυσματικό πεδίο είναι ουσιαστικά μια συνάρτηση που εκχωρεί ένα δισδιάστατο ή τρισδιάστατο διάνυσμα σε κάθε σημείο ενός δισδιάστατου ή τρισδιάστατου επιπέδου. Τα διανυσματικά πεδία που είναι τρισδιάστατα είναι συνήθως πολύ δύσκολο να σχεδιαστούν με το χέρι και απαιτούν τη βοήθεια ενός συστήματος άλγεβρας υπολογιστή.
Τα διανύσματα και το διανυσματικό πεδίο που αποτελούν εφαρμόζονται σε γεγονότα που συμβαίνουν στην καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα, μπορεί να αντιπροσωπεύουν τις ταχύτητες του ανέμου που εμφανίζονται κατά τη διάρκεια ενός ανεμοστρόβιλου ή διαφορετικών ωκεάνιων ευρεσιτεχνιών. Τα διανυσματικά πεδία ταχύτητας είναι ενδεικτικά της ταχύτητας και της κατεύθυνσης και έχουν χρησιμοποιηθεί για να δείξουν την ταχύτητα με την οποία ο αέρας κινείται πέρα από τις αεροτομές. Ένα πεδίο δύναμης είναι ένας άλλος τύπος διανυσματικού πεδίου που συσχετίζει κάθε σημείο του χρόνου και του χώρου με ένα διάνυσμα δύναμης. Τέτοια διανυσματικά πεδία είναι ιδιαίτερα χρήσιμα κατά τη μοντελοποίηση μαγνητικών και βαρυτικών δυνάμεων.
Οι μαθηματικοί και οι φυσικοί είναι επίσης σε θέση να υπολογίσουν ολοκληρώματα ευθείας και επιφάνειας διανυσματικών πεδίων. Ένα ολοκλήρωμα γραμμής μπορεί να θεωρηθεί ως ολοκλήρωμα “καμπύλης” και χρησιμοποιείται συχνά για να ανακαλύψει πώς ένα αντικείμενο κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης. Τα επιφανειακά ολοκληρώματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ανακαλύψουν την ταχύτητα με την οποία το υγρό κινείται σε μια επιφάνεια.
Ένα διανυσματικό πεδίο μπορεί να θεωρηθεί συντηρητικό όταν το πεδίο αντιπροσωπεύει μια διαβάθμιση μιας βαθμωτής συνάρτησης. Δηλαδή, το πεδίο αντιπροσωπεύει μια κλίση ή μια κλίση. Δεν είναι όλα τα διανυσματικά πεδία συντηρητικά, αλλά εμφανίζονται τακτικά στη φυσική.