Κάθε χώρος που δεν είναι τελείως επίπεδος ονομάζεται καμπύλος χώρος. Η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι καμπύλος χώρος, όπως και η επιφάνεια μιας σέλας. Μια σφαίρα είναι ένα παράδειγμα θετικής καμπυλότητας, που σημαίνει ότι εάν ένα τρίγωνο είναι φτιαγμένο με ευθείες γραμμές σε καμπύλο χώρο, οι γωνίες θα αθροίζονται σε περισσότερες από τις κανονικές 180 μοίρες. Μια σέλα είναι ένα παράδειγμα αρνητικής καμπύλης απόστασης. Η βαρύτητα προκαλείται από την καμπυλότητα του χώρου — η μάζα καμπυλώνει τον χώρο, η οποία αναγκάζει τα αντικείμενα να έλκονται μεταξύ τους.
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα χρησιμοποιείται συχνά για να ελέγξει αν ο χώρος είναι επίπεδος ή καμπύλος. Αυτός ο μαθηματικός τύπος χρησιμοποιεί το μήκος κάθε πλευράς ενός τριγώνου αντί για γωνίες. Εάν τα μήκη ταιριάζουν με αυτά που δηλώνει το θεώρημα, τότε το τρίγωνο βρίσκεται σε επίπεδο χώρο. Αν τα μήκη δεν ταιριάζουν ακριβώς με το θεώρημα, τότε το τρίγωνο βρίσκεται σε καμπύλο χώρο. Οι γωνίες είναι δύσκολο να μετρηθούν σε μεγάλες αποστάσεις, αλλά η μέτρηση των πλευρών ή της περιμέτρου ενός τριγώνου μπορεί εύκολα να δείξει τη φύση του χώρου.
Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι η μελέτη των σχημάτων σε επίπεδο χώρο. Βασίζεται σε μια λίστα βασικών πληροφοριών, που ονομάζονται αξιώματα, και αποδεικνύει πολλές μαθηματικές έννοιες όπως το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Τα αξιώματα συχνά απορρίπτονται, πράγμα που σημαίνει ότι αποδεικνύεται ότι δεν είναι πάντα αληθινά, στον καμπύλο χώρο ή στη μη Ευκλείδεια γεωμετρία. Όλα τα τρίγωνα έχουν 180 μοίρες στην Ευκλείδεια γεωμετρία, κάτι που είναι εύκολο να διαψευσθεί στον καμπύλο χώρο μετρώντας κάθε γωνία με ένα μοιρογνωμόνιο.
Ο καμπύλος χώρος παίζει σημαντικό ρόλο στη σύγχρονη αστρονομία. Βαρύτητα θεωρείται ο καμπύλος χώρος που περιβάλλει ένα μεγάλο σώμα που προκαλεί μικρότερα αντικείμενα σε τροχιά ή σύγκρουση με το μεγάλο σώμα. Αυτό δεν ανακαλύφθηκε μέχρι που ο Αϊνστάιν δημοσίευσε τη Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας, η οποία περιέγραψε για πρώτη φορά τη βαρύτητα ως καμπύλο χώρο. Πριν από αυτό, οι αστρονόμοι υπολόγιζαν τις τροχιές ανακριβώς επειδή το διάστημα αντιμετωπιζόταν ως τρισδιάστατο Ευκλείδειο σχήμα. Οι σύγχρονοι αστρονόμοι μπορούν να υπολογίσουν και να προβλέψουν πολύ περισσότερα με τον μη Ευκλείδειο χώρο, όπως οι μαύρες τρύπες και το πώς κινούνται οι γαλαξίες.
Ακόμη και ο πατέρας της φυσικής, ο Ισαάκ Νεύτων, χρησιμοποιούσε την Ευκλείδεια γεωμετρία. Ήταν ο μόνος τρόπος να μελετηθούν τα σχήματα για πάνω από 2000 χρόνια. Στη συνέχεια, στα τέλη του 19ου αιώνα, το αξίωμα ότι οι παράλληλες γραμμές δεν διασταυρώνονται ποτέ καταρρίφθηκε από τον Janos Bolyai. Ο Αϊνστάιν μπόρεσε να κατανοήσει τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία και πώς θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει σωστά την περίεργη τροχιά του Ερμή. Η σύγχρονη άποψη είναι ότι τα αληθινά Ευκλείδεια σχήματα υπάρχουν μόνο σε χώρους μακριά από οποιοδήποτε βαρυτικό σώμα.