Ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι ένα στατιστικό θεώρημα που υποθέτει ότι ο μέσος όρος του δείγματος των τυχαίων μεταβλητών θα πλησιάσει τον θεωρητικό μέσο όρο καθώς αυξάνεται ο αριθμός των τυχαίων μεταβλητών. Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερο είναι ένα στατιστικό δείγμα, τόσο πιο πιθανό είναι κάποιος να πάρει αποτελέσματα πιο ακριβή από τη συνολική εικόνα. Οι χαμηλότεροι αριθμοί δειγμάτων τείνουν να παραμορφώνουν το αποτέλεσμα πιο εύκολα, αν και μπορούν επίσης να είναι αρκετά ακριβείς.
Ένα νόμισμα είναι ένα καλό παράδειγμα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει τον νόμο των μεγάλων αριθμών. Συχνά, χρησιμοποιείται σε μαθήματα στατιστικής αρχικού επιπέδου για να καταδείξει πόσο αποτελεσματικός μπορεί να είναι αυτός ο νόμος. Τα περισσότερα νομίσματα έχουν δύο όψεις, κεφάλι και ουρά. Εάν το κέρμα αναποδογυριστεί, η λογική θα έλεγε ότι υπάρχουν ίσες πιθανότητες να προσγειωθεί το νόμισμα στην πλευρά του κεφαλιού ή της ουράς. Φυσικά, αυτό εξαρτάται από την ισορροπία του νομίσματος, τις μαγνητικές του ιδιότητες και άλλους παράγοντες, αλλά γενικά αυτό ισχύει.
Εάν ένα κέρμα αναποδογυριστεί μόνο μερικές φορές, τα αποτελέσματα μπορεί να μην υποδεικνύουν ότι υπάρχουν ίσες πιθανότητες να προσγειωθεί σε κεφάλια και ουρές. Για παράδειγμα, το χτύπημα ενός νομίσματος τέσσερις φορές μπορεί να δώσει τρία κεφάλια και μία ουρά. Θα μπορούσε να δώσει ακόμη και τέσσερα κεφάλια και καμία ουρά. Πρόκειται για μια στατιστική ανωμαλία.
Ωστόσο, ο νόμος των μεγάλων αριθμών λέει ότι καθώς το δείγμα αυξάνεται, αυτά τα αποτελέσματα πιθανότατα θα συμφωνούν με την αληθινή αναπαράσταση των δυνατοτήτων. Εάν ένα νόμισμα αναποδογυριστεί 200 φορές, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα ο αριθμός των φορών που προσγειώνεται στα κεφάλια και τις ουρές να είναι σχεδόν 100 η κάθε μία. Ωστόσο, ο νόμος ή οι μεγάλοι αριθμοί δεν προβλέπουν ότι θα είναι ακριβώς 100 το καθένα, μόνο ότι πιθανότατα θα είναι πιο αντιπροσωπευτικό του πραγματικού εύρους των δυνατοτήτων από έναν μικρότερο μέσο όρο.
Ο νόμος των μεγάλων αριθμών δείχνει γιατί χρειάζεται ένα επαρκές δείγμα. Τα στατιστικά στοιχεία χρησιμοποιούνται επειδή δεν υπάρχει αρκετός χρόνος, ή δεν είναι πρακτικό, να χρησιμοποιηθεί ολόκληρος ο πληθυσμός ως δείγμα. Ωστόσο, ένα δείγμα πληθυσμού σημαίνει ότι θα υπάρχουν αντιπροσωπευτικά μέλη του πληθυσμού που δεν υπολογίζονται. Για να βεβαιωθείτε ότι το δείγμα αντικατοπτρίζει τον συνολικό πληθυσμό, απαιτείται επαρκής αριθμός τυχαίων μεταβλητών.
Ο καθορισμός του μεγέθους ενός δείγματος που απαιτείται εξαρτάται κανονικά από διάφορους παράγοντες, ο κύριος από τους οποίους είναι το διάστημα εμπιστοσύνης. Για παράδειγμα, ένα στατιστικό διάστημα εμπιστοσύνης είναι το επίπεδο βεβαιότητας ότι ο πληθυσμός θα εμπίπτει σε ορισμένες παραμέτρους. Ο καθορισμός ενός διαστήματος εμπιστοσύνης 95 τοις εκατό θα σήμαινε ότι υπάρχει εύλογη βεβαιότητα ότι το 95 τοις εκατό του πληθυσμού θα εμπίπτει σε αυτές τις παραμέτρους. Το δείγμα που απαιτείται για ορισμένα διαστήματα εμπιστοσύνης καθορίζεται από έναν τύπο που λαμβάνει υπόψη τον αριθμό στον πληθυσμό καθώς και το επιθυμητό διάστημα εμπιστοσύνης.
Ενώ ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι μια απλή έννοια, τα θεωρήματα και οι τύποι που βοηθούν στην αιτιολόγησή του μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκα. Με απλά λόγια, ο νόμος ή οι μεγάλοι αριθμοί είναι η καλύτερη εξήγηση για το γιατί τα μεγαλύτερα δείγματα είναι καλύτερα από τα μικρότερα. Κανείς δεν μπορεί να εγγυηθεί θετικά ότι η στατιστική δειγματοληψία θα είναι απολύτως ακριβής, αλλά αυτός ο νόμος βοηθά στην αποφυγή πολλών ανακριβών αποτελεσμάτων.