Το Πι είναι το 16ο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου, αλλά είναι περισσότερο γνωστό ως το σύμβολο που χρησιμοποιείται για την ονομασία μιας μαθηματικής σχέσης: η αναλογία μεταξύ της περιφέρειας ενός κύκλου και της διαμέτρου του. Ως εκ τούτου, είναι μια μαθηματική σταθερά και έχει πολλές χρήσεις. Προφανώς, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της περιφέρειας ενός κύκλου από τη διάμετρό του και αντίστροφα. Άλλα παραδείγματα είναι οι τύποι για να βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου και τον όγκο μιας σφαίρας. Συχνά αντιπροσωπεύεται από την ελληνική μορφή του γράμματος, π, και συνήθως δίνεται η τιμή 3.14. Ωστόσο, αυτό είναι μόνο μια προσέγγιση, και ο αριθμός έχει μερικές συναρπαστικές ιδιότητες.
αξία
Η ακριβής τιμή του pi δεν μπορεί να δηλωθεί. Κανένα κλάσμα δεν είναι ακριβώς ισοδύναμο με αυτό και όταν εκφράζεται ως δεκαδικό, υπάρχει άπειρος αριθμός ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Επομένως, όποτε απαιτείται για έναν υπολογισμό, πρέπει να χρησιμοποιείται μια προσέγγιση. Η τιμή που χρησιμοποιείται εξαρτάται από το πόσο ακριβής πρέπει να είναι ο υπολογισμός.
Για ορισμένους σκοπούς, το 3.14 είναι αποδεκτό, ενώ για άλλους, μπορεί να απαιτείται μια τιμή σωστή, ας πούμε, σε οκτώ δεκαδικά ψηφία — 3.14159265 —. Κανένας υπολογισμός δεν απαιτεί μια τιμή ακριβή με περισσότερα από 40 δεκαδικά ψηφία. Πολλοί άνθρωποι έχουν χρησιμοποιήσει υπολογιστές για να πραγματοποιήσουν υπολογισμούς που σπάνε ρεκόρ της τιμής του π. από το 2013, έχει υπολογιστεί σε 10 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. Ωστόσο, δεν υπάρχει καμία πιθανή εφαρμογή που να απαιτεί μια τόσο ακριβή τιμή.
μπορείτε να χρησιμοποιήσετε
Αν και το pi ορίζεται ως προς τη διάμετρο ενός κύκλου, στους μαθηματικούς τύπους, συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα, που αντιπροσωπεύεται από το “r”, έτσι ώστε ο τύπος για την περιφέρεια ενός κύκλου να είναι 2πr, ή ακτίνα πολλαπλασιαζόμενη επί π επί δύο. Άλλοι κοινοί μαθηματικοί τύποι που χρησιμοποιούν π περιλαμβάνουν τους ακόλουθους:
το εμβαδόν ενός κύκλου — πr2
το εμβαδόν μιας σφαίρας — 4πr2
ο όγκος μιας σφαίρας — 4/3πr3
Η σταθερά χρησιμοποιείται επίσης ευρέως σε
φυσική
, στατιστικά και
μηχανική
.
Ιδιοκτησίες
Το Pi είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος ή κλάσμα που περιλαμβάνει δύο ακέραιους αριθμούς, όπως 2/5 ή 7/3. Ορισμένα κλάσματα είναι κοντινές προσεγγίσεις, για παράδειγμα, το 355/113 δίνει τον αριθμό σωστό σε 6 δεκαδικά ψηφία. Ωστόσο, μια ακριβής τιμή δεν μπορεί να ληφθεί με αυτόν τον τρόπο. Όταν οι παράλογοι αριθμοί εκφράζονται ως δεκαδικοί, τα ψηφία μετά την υποδιαστολή σχηματίζουν μια άπειρη, μη επαναλαμβανόμενη, ακολουθία.
Είναι επίσης ένας υπερβατικός αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι ρίζα, ή λύση, σε οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση με ορθολογικούς συντελεστές. Οι συντελεστές μιας εξίσωσης είναι απλώς οι αριθμοί που προθέτουν τα σύμβολα. όπου δεν υπάρχει αριθμητικό πρόθεμα, ο συντελεστής είναι 1. Για παράδειγμα, στην εξίσωση 3x + y = 0, οι συντελεστές των x και y είναι 3 και 1, αντίστοιχα. Το γεγονός ότι το pi είναι υπερβατικό είναι απόδειξη ότι το αρχαίο πρόβλημα του «τετραγωνισμού του κύκλου» – η κατασκευή ενός τετραγώνου με την ίδια περιοχή με έναν κύκλο χρησιμοποιώντας μόνο μια ευθεία άκρη και μια πυξίδα – είναι αδιάλυτο.
Η ακολουθία των ψηφίων μετά την υποδιαστολή φαίνεται να είναι τυχαία. Πολλές προσπάθειες έχουν γίνει για την εύρεση μοτίβων εντός αυτού του αριθμού, αλλά όλες απέτυχαν. Η τυχαιότητα δεν έχει αποδειχθεί αλλά, από το 2013, η ακολουθία, στο βαθμό που έχει υπολογιστεί, περνάει όλα τα τεστ γι’ αυτήν.
Η Ιστορία Μας
Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν χονδρικές προσεγγίσεις του π, υπολογίζοντας τιμές λίγο πάνω από 3.1. Ο Αρχιμήδης, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, βρήκε ότι η τιμή βρισκόταν μεταξύ 223/71 και 22/7. Το Pi βρέθηκε να είναι παράλογο το 1770 από τον Γερμανό μαθηματικό Johann Lambert και το 1882, ο φυσικός Ferdinand Lindemann έδειξε ότι είναι ένας υπερβατικός αριθμός. Τα πιο πρόσφατα χρόνια, η τιμή έχει υπολογιστεί με έναν συνεχώς αυξανόμενο αριθμό δεκαδικών ψηφίων — μια τάση που φαίνεται ότι θα συνεχιστεί με την αύξηση της υπολογιστικής ισχύος.
Ενδιαφέροντα στοιχεία για το π
Εάν η ακολουθία των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο π είναι τυχαία, αυτό σημαίνει, αφού είναι επίσης άπειρη, ότι κάθε πιθανή ακολουθία αριθμών, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλη ή απίθανη, πρέπει να εμφανίζεται κάπου στη σειρά. Στην πραγματικότητα, το καθένα πρέπει να εμφανίζεται άπειρες φορές. Τα ψηφία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν άλλους χαρακτήρες, όπως γράμματα του αλφαβήτου και σημεία στίξης. Με αυτόν τον τρόπο, κάθε πιθανή ακολουθία χαρακτήρων θα μπορούσε, θεωρητικά, να βρεθεί μέσα στο pi με αναζήτηση σε επαρκή αριθμό ψηφίων. Αυτές οι ακολουθίες θα περιλαμβάνουν τα πλήρη έργα του Σαίξπηρ, όλα τα γνωστά εγχειρίδια μαθηματικών και αυτό το άρθρο, καθώς και άπειρα βιβλία που δεν έχουν ακόμη γραφτεί.
Ωστόσο, για να βρείτε οτιδήποτε έχει νόημα περισσότερο από μερικούς χαρακτήρες, θα απαιτούσε τον υπολογισμό του pi σε έναν ασύλληπτο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες από την τρέχουσα εγγραφή. Από το 2013, είναι δυνατό για οποιονδήποτε, χρησιμοποιώντας ένα απλό διαδικτυακό πρόγραμμα, να αναζητήσει συμβολοσειρές χαρακτήρων στα πρώτα τέσσερα δισεκατομμύρια ψηφία του π. Η πιθανότητα εύρεσης μιας ακολουθίας χαρακτήρων δεδομένου μήκους υπολογίζεται εύκολα. Για παράδειγμα, η πιθανότητα εύρεσης μιας δεδομένης ακολουθίας δέκα χαρακτήρων στα πρώτα τέσσερα δισεκατομμύρια ψηφία του pi είναι 0.0003%.
Μέχρι στιγμής, τίποτα που να φαίνεται σημαντικό δεν έχει βρεθεί στο pi. Υπάρχει, ωστόσο, μια ακολουθία έξι διαδοχικών 9, που ξεκινούν από το 762ο ψηφίο. Αυτό είναι γνωστό ως σημείο Feynman και πήρε το όνομά του από τον φυσικό Richard Feynman. Η πιθανότητα να συμβεί τόσο νωρίς στην ακολουθία είναι 0.0685%. Ωστόσο, θεωρείται ότι είναι απλώς ένα φρικτό συμβάν.
Πολλοί άνθρωποι έχουν καταφέρει να απομνημονεύσουν το π σε έναν τεράστιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Από το 2013, το ρεκόρ θεωρείται ότι είναι 67,890. Η ημερομηνία 14 Μαρτίου (επίσης γραμμένη 3/14) έχει οριστεί ως «Ημέρα Πι» στις ΗΠΑ, με διάφορες δραστηριότητες που σχετίζονται με το π. Έχει δημιουργηθεί μουσική με βάση αυτή τη σταθερά και έχουν γραφτεί μυθιστορήματα όπου τα μήκη των λέξεων είναι τα ψηφία του π στη σωστή σειρά.