Ένα κοσύνολο είναι ένας συγκεκριμένος τύπος υποσυνόλου μιας μαθηματικής ομάδας. Για παράδειγμα, θα μπορούσε κανείς να εξετάσει το σύνολο όλων των ολοκληρωτικών πολλαπλασίων του 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …}, το οποίο μπορεί να συμβολιστεί ως 7Z. Προσθέτοντας 3 σε κάθε αριθμό δημιουργείται το σύνολο {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, το οποίο οι μαθηματικοί περιγράφουν ως 7Z + 3. Αυτό το τελευταίο σύνολο ονομάζεται το συνολο του 7Z που δημιουργείται από το 3.
Υπάρχουν δύο σημαντικές ιδιότητες του 7Z. Αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 7, το ίδιο είναι και το πρόσθετο αντίστροφο. Το πρόσθετο αντίστροφο του 7 είναι -7, το πρόσθετο αντίστροφο του 14 είναι -14, και ούτω καθεξής. Επίσης, προσθέτοντας ένα πολλαπλάσιο του 7 σε ένα άλλο πολλαπλάσιο του 7 προκύπτει ένα πολλαπλάσιο του 7. Οι μαθηματικοί το περιγράφουν λέγοντας ότι τα πολλαπλάσια του 7 είναι «κλειστά» με την πράξη της πρόσθεσης.
Αυτά τα δύο χαρακτηριστικά είναι γιατί το 7Z ονομάζεται υποομάδα των υπό πρόσθεση ακεραίων. Μόνο οι υποομάδες έχουν κοσέτα. Το σύνολο όλων των κυβικών αριθμών, {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …}, δεν έχει κοσύνολα με τον ίδιο τρόπο όπως το 7Z επειδή δεν κλείνει με πρόσθεση: 1 + 8 = Το 9 και το 9 δεν είναι κυβικός αριθμός. Παρομοίως, το σύνολο όλων των θετικών άρτιων αριθμών, {2, 4, 6, …}, δεν έχει κοσύνολα επειδή δεν περιέχει αντίστροφα.
Ο λόγος για αυτούς τους όρους είναι ότι κάθε αριθμός πρέπει να είναι ακριβώς σε ένα κοσετό. Στην περίπτωση των {2, 4, 6, …}, το 6 είναι στο συνόλο που δημιουργείται από το 4 και είναι στο συνόλο που δημιουργείται από το 2, αλλά αυτά τα δύο συνέτα δεν είναι πανομοιότυπα. Αυτά τα δύο κριτήρια αρκούν για να διασφαλιστεί ότι κάθε στοιχείο βρίσκεται σε ένα ακριβώς συνολέ.
Τα κοζέτα υπάρχουν σε οποιαδήποτε ομάδα και ορισμένες ομάδες είναι πολύ πιο περίπλοκες από τους ακέραιους. Μια χρήσιμη ομάδα που θα μπορούσε κανείς να εξετάσει είναι το σύνολο όλων των τρόπων για να μετακινήσετε ένα τετράγωνο χωρίς να αλλάξετε την περιοχή που καλύπτει. Εάν ένα τετράγωνο περιστραφεί κατά 90 μοίρες, δεν υπάρχει εμφανής αλλαγή στο σχήμα. Ομοίως, μπορεί να αναστραφεί κατακόρυφα, οριζόντια ή σε οποιαδήποτε διαγώνιο χωρίς να αλλάξει η περιοχή που καλύπτει το τετράγωνο. Οι μαθηματικοί ονομάζουν αυτή την ομάδα D4.
Το D4 έχει οκτώ στοιχεία. Δύο στοιχεία θεωρούνται πανομοιότυπα εάν αφήσουν όλες τις γωνίες στην ίδια θέση, επομένως η περιστροφή του τετραγώνου δεξιόστροφα τέσσερις φορές θεωρείται το ίδιο με το να μην κάνετε τίποτα. Έχοντας αυτό υπόψη, τα οκτώ στοιχεία μπορούν να χαρακτηριστούν e, r, r2, r3, v, h, dd και dd. Το “e” αναφέρεται στο να μην κάνεις τίποτα και το “r2” σημαίνει ότι κάνεις δύο περιστροφές. Καθένα από τα τέσσερα τελευταία στοιχεία αναφέρεται στην ανατροπή του τετραγώνου: κάθετα, οριζόντια ή κατά μήκος των διαγώνιων που έχουν κλίση προς τα πάνω ή προς τα κάτω.
Οι ακέραιοι είναι μια ομάδα Abelian, που σημαίνει ότι η λειτουργία της ικανοποιεί τον μεταθετικό νόμο: 3 + 2 = 2 + 3. Το D4 δεν είναι Abelian. Η περιστροφή ενός τετραγώνου και στη συνέχεια η οριζόντια αναστροφή του δεν μετακινεί τις γωνίες με τον ίδιο τρόπο όπως το γυρίζοντας και στη συνέχεια περιστρέφοντάς το.
Όταν εργάζονται σε μη-ανταλλακτικές ομάδες, οι μαθηματικοί συνήθως χρησιμοποιούν ένα * για να περιγράψουν την πράξη. Μια μικρή εργασία δείχνει ότι η περιστροφή του τετραγώνου και στη συνέχεια η αναστροφή του οριζόντια, r * h, είναι το ίδιο με το να το αναστρέψετε κατά μήκος της προς τα κάτω διαγώνιό του. Έτσι r * h = dd. Το να γυρίσετε το τετράγωνο και μετά να το περιστρέψετε ισοδυναμεί με το να το γυρίσετε κατά μήκος της διαγώνιου προς τα πάνω, οπότε r * h = du.
Η παραγγελία έχει σημασία στο D4, επομένως πρέπει να είμαστε πιο ακριβείς όταν περιγράφουμε τα κοσέτα. Όταν εργάζεστε στους ακέραιους αριθμούς, η φράση “το συνόλου του 7Z που δημιουργείται από το 3” είναι σαφής επειδή δεν έχει σημασία αν προστίθεται 3 στα αριστερά ή δεξιά σε κάθε πολλαπλάσιο του 7. Ωστόσο, για μια υποομάδα του D4, διαφορετικές τάξεις θα δημιουργήστε διαφορετικά κοσέτα. Με βάση τους υπολογισμούς που περιγράφηκαν προηγουμένως, r*H, το αριστερό σύνολο του H που δημιουργείται από το r—ισούται με {r, dd} αλλά το H*r ισούται με (r, du}. Δεν ισχύει η απαίτηση να μην υπάρχει κανένα στοιχείο σε δύο διαφορετικά κοσύνολα όταν συγκρίνουμε τα δεξιά με τα αριστερά κοζέτα.
Οι δεξιές κοσύνολες του Η δεν ταιριάζουν με τις αριστερές του. Δεν μοιράζονται όλες οι υποομάδες του D4 αυτήν την ιδιότητα. Μπορεί κανείς να θεωρήσει την υποομάδα R όλων των περιστροφών του τετραγώνου, R={e, r, r2, r3}.
Ένας μικρός υπολογισμός δείχνει ότι τα αριστερά του κοζέτα είναι ίδια με τα δεξιά του. Μια τέτοια υποομάδα ονομάζεται κανονική υποομάδα. Οι κανονικές υποομάδες είναι εξαιρετικά σημαντικές στην αφηρημένη άλγεβρα επειδή κωδικοποιούν πάντα επιπλέον πληροφορίες. Για παράδειγμα, τα δύο πιθανά συνέτα του R ισοδυναμούν με τις δύο πιθανές καταστάσεις «το τετράγωνο έχει αναστραφεί» και «το τετράγωνο δεν έχει αναστραφεί».