Οι μήτρες είναι μαθηματικά αντικείμενα που μετασχηματίζουν σχήματα. Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα A, που συμβολίζεται με |A|, είναι ένας αριθμός που συνοψίζει την επίδραση που έχει το A στο μέγεθος και τον προσανατολισμό ενός σχήματος. Εάν το [ab] είναι το διάνυσμα της επάνω σειράς για το A και το [cd] είναι το διάνυσμα της κάτω σειράς του, τότε |A| = ad-bc.
Ένας προσδιοριστής κωδικοποιεί χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με το πώς ένας πίνακας μετασχηματίζει περιοχές. Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας δείχνει τον παράγοντα κλίμακας του πίνακα, πόσο τεντώνει ή συρρικνώνει ένα σχήμα. Το σημάδι του περιγράφει εάν η μήτρα ανατρέπει τις φιγούρες, δίνοντας μια κατοπτρική εικόνα. Οι πίνακες μπορούν επίσης να παραμορφώσουν περιοχές και να τις περιστρέψουν, αλλά αυτές οι πληροφορίες δεν παρέχονται από την ορίζουσα.
Αριθμητικά, η μετασχηματιστική δράση ενός πίνακα καθορίζεται από τον πολλαπλασιασμό του πίνακα. Εάν το A είναι ένας πίνακας 2 × 2 με επάνω σειρά [ab] και κάτω σειρά [cd], τότε [1 0] * A = [ab] και [0 1] * A = [cd]. Αυτό σημαίνει ότι ο Α παίρνει το σημείο (1,0) στο σημείο (α, β) και το σημείο (0,1) στο σημείο (γ, δ). Όλοι οι πίνακες αφήνουν την αρχή αμετάβλητη, οπότε βλέπει κανείς ότι το A μετατρέπει το τρίγωνο με τελικά σημεία στο (0,0), (0,1) και (1,0) σε ένα άλλο τρίγωνο με τελικά σημεία στο (0,0), (a ,β) και (γ,δ). Ο λόγος του εμβαδού αυτού του νέου τριγώνου προς το αρχικό τρίγωνο είναι ίσος με |ad-bc|, την απόλυτη τιμή του |A|.
Το πρόσημο της ορίζουσας μιας μήτρας περιγράφει εάν η μήτρα ανατρέπει ένα σχήμα. Λαμβάνοντας υπόψη το τρίγωνο με καταληκτικά σημεία στα (0,0), (0,1) και (1,0), εάν ένας πίνακας Α διατηρεί το σημείο (0,1) ακίνητο ενώ παίρνει το σημείο (1,0) στο σημείο (-1,0), τότε έχει αναποδογυρίσει το τρίγωνο πάνω από την ευθεία x = 0. Εφόσον ο Α έχει αναποδογυρίσει το σχήμα, |A| θα είναι αρνητικό. Ο πίνακας δεν αλλάζει το μέγεθος μιας περιοχής, οπότε |A| πρέπει να είναι -1 για να είναι συνεπής με τον κανόνα ότι η απόλυτη τιμή του |A| περιγράφει πόσο το Α τεντώνει μια φιγούρα.
Η αριθμητική του πίνακα ακολουθεί τον συνειρμικό νόμο, που σημαίνει ότι (v*A)*B = v*(A*B). Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η συνδυασμένη δράση του πρώτου μετασχηματισμού ενός σχήματος με τον πίνακα Α και στη συνέχεια του μετασχηματισμού του σχήματος με τον πίνακα Β ισοδυναμεί με τον μετασχηματισμό του αρχικού σχήματος με το γινόμενο (Α*Β). Από αυτή την παρατήρηση μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι |A|*|B| = |A*B|.
Η εξίσωση |A| * |Β| = |A*B| έχει σημαντική συνέπεια όταν |A| = 0. Σε αυτήν την περίπτωση η δράση του Α δεν μπορεί να αναιρεθεί από κάποιον άλλο πίνακα Β. Αυτό μπορεί να συναχθεί σημειώνοντας ότι αν τα Α και Β ήταν αντίστροφα, τότε (Α*Β) ούτε τεντώνει ούτε αναστρέφει καμία περιοχή, οπότε |A* Β| = 1. Αφού |A| * |Β| = |A*B|, αυτή η τελευταία παρατήρηση οδηγεί στην αδύνατη εξίσωση 0 * |B| = 1.
Ο αντίστροφος ισχυρισμός μπορεί επίσης να αποδειχθεί: εάν το Α είναι τετράγωνος πίνακας με μη μηδενική ορίζουσα, τότε το Α έχει αντίστροφο. Γεωμετρικά, αυτή είναι η δράση οποιουδήποτε πίνακα που δεν ισοπεδώνει μια περιοχή. Για παράδειγμα, η συμπίεση ενός τετραγώνου σε ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να αναιρεθεί από κάποιον άλλο πίνακα, που ονομάζεται αντίστροφός του. Ένα τέτοιο αντίστροφο είναι το ανάλογο μήτρας ενός αντίστροφου.