Coeficienții binomii definesc numărul de combinații care sunt posibile la alegerea unui anumit număr de rezultate dintr-un set de o dimensiune dată. Ele sunt utilizate în teorema binomului, care este o metodă de extindere a unui binom – o funcție polinomială care conține doi termeni. Triunghiul lui Pascal, de exemplu, este compus numai din coeficienți binomi.
Din punct de vedere matematic, coeficienții binomi sunt scrise ca două numere aliniate vertical într-un set de paranteze. Numărul de sus, reprezentat de „n”, este numărul total de posibilități. Reprezentat de obicei prin „r” sau „k”, numărul de jos este numărul de rezultate neordonate care trebuie selectate din „n”. Ambele numere sunt pozitive, iar „n” este mai mare sau egal cu „r”.
Coeficientul binom, sau numărul de moduri prin care „r” poate fi ales din „n”, este calculat folosind factoriali. Un factorial este un număr înmulțit cu următorul cel mai mic număr ori cu următorul cel mai mic număr și așa mai departe până când formula ajunge la unu. Este reprezentat matematic ca n! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Factorial zero este egal cu unu.
Pentru un coeficient binom, formula este n factorial (n!) împărțit la produsul lui (n – r)! ori r!, care de obicei poate fi redus. Dacă n este 5 și r este 2, de exemplu, formula este 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). În acest caz, 3*2*1 este atât la numărător, cât și la numitor, deci poate fi anulat din fracție. Rezultă (5*4)/(2*1), care este egal cu 10.
Teorema binomială este o modalitate de a calcula expansiunea unei funcții binomiale, reprezentată prin (a + b)^n — a plus b la a n-a putere; a și b pot fi compuse din variabile, constante sau ambele. Pentru a extinde binomul, primul termen din expansiune este coeficientul binom al lui n și de 0 ori a^n. Al doilea termen este coeficientul binom al lui n și de 1 ori a^(n-1)b. Fiecare termen ulterior al expansiunii se calculează adunând 1 la numărul de jos din coeficientul binom, ridicând a la puterea lui n minus acel număr și ridicând b la puterea acelui număr, continuând până când numărul de jos al coeficientului este egal. n.
Fiecare număr din triunghiul lui Pascal este un coeficient binomial care poate fi calculat folosind formula pentru coeficienți binomiali. Triunghiul începe cu un 1 în punctul de sus, iar fiecare număr dintr-un rând inferior poate fi calculat prin adunarea celor două intrări în diagonală deasupra acestuia. Triunghiul lui Pascal are mai multe proprietăți matematice unice – pe lângă coeficienții binomi, conține și numere Fibonacci și numere figurate.