Το μηδέν είναι ένας συναρπαστικός μικρός αριθμός και έχει μερικές πολύ χαρακτηριστικές ιδιότητες. Από τότε που εφευρέθηκε το μηδέν, οι μαθηματικοί αγωνίζονται να το ορίσουν και να το χρησιμοποιήσουν στην εργασία τους, με τις ιδιότητες του μηδενός να επιτυγχάνονται μέσω της χρήσης μαθηματικών αποδείξεων που προορίζονται να απεικονίσουν αυτές τις ιδιότητες στην εργασία. Ακόμη και με αποδείξεις που υποστηρίζουν τη λογική πίσω από ορισμένες από τις ιδιότητες του μηδενός, αυτός ο αριθμός μπορεί να είναι αρκετά ολισθηρός.
Οι άνθρωποι δεν χρησιμοποιούσαν πάντα το μηδέν. Μια ακατέργαστη μορφή του μηδενός ως σύμβολο κράτησης θέσης φαίνεται να έχει χρησιμοποιηθεί από Βαβυλώνιους μαθηματικούς, αλλά οι Ινδοί μαθηματικοί συνήθως πιστώνονται με την ιδέα του μηδενός ως αριθμού, και όχι απλώς ως σύμβολο κράτησης θέσης. Σχεδόν αμέσως, οι άνθρωποι αγωνίστηκαν να καθορίσουν τον αριθμό και να μάθουν πώς λειτουργούσε, και οι εξερευνήσεις στις ιδιότητες του μηδέν έγιναν αρκετά περίπλοκες.
Οι αριθμοί μπορούν να ταξινομηθούν ως θετικοί ή αρνητικοί, ανάλογα με το αν είναι μεγαλύτεροι ή μικρότεροι από το μηδέν, αλλά το ίδιο το μηδέν δεν είναι τίποτα από τα δύο. Το μηδέν είναι επίσης άρτιο, κάτι που προκαλεί έκπληξη σε μερικούς ανθρώπους όταν μαθαίνουν για τις ιδιότητες του μηδενός, καθώς συχνά υποθέτουν ότι είναι είτε περιττό είτε έξω από τη διχοτόμηση άρτιο/περιττό. Στην πραγματικότητα, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν εκτεταμένα μαθηματικά για να σας δείξουν πώς το μηδέν ταξινομείται ως ζυγό, αλλά ο απλούστερος τρόπος για να δείξετε πόσο το μηδέν είναι άρτιο είναι να σκεφτείτε τι συμβαίνει όταν έχετε έναν πολυψήφιο αριθμό που τελειώνει σε ζυγό αριθμό. Το 1002 τελειώνει σε 2, ζυγό, επομένως θεωρείται ζυγός. Ομοίως με τα 368, 426 και ούτω καθεξής. Οι αριθμοί που τελειώνουν σε μηδέν αντιμετωπίζονται επίσης ως ζυγοί, υποδεικνύοντας ότι το μηδέν είναι το ίδιο άρτιο.
Η ιδιότητα πρόσθεσης του μηδέν δηλώνει ότι η προσθήκη 0 σε έναν αριθμό δεν αλλάζει αυτόν τον αριθμό. 37+0 ισούται με 37, για παράδειγμα. Στην ιδιότητα πολλαπλασιασμού του μηδέν, οι μαθηματικοί δηλώνουν ότι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με το μηδέν καταλήγει πάντα σε μηδέν: αν πολλαπλασιάσετε έξι πορτοκάλια μηδέν φορές, καταλήγετε να μην έχετε πορτοκάλια. Κάποιες άλλες ιδιότητες του μηδενός πρέπει να έχουν πρόσθεση και αφαίρεση. Η αφαίρεση ενός θετικού αριθμού από το μηδέν καταλήγει σε αρνητικό αριθμό και η αφαίρεση ενός αρνητικού αριθμού από το μηδέν καταλήγει σε θετικό.
Το μηδέν έχει μια άλλη ιδιότητα που είναι γνωστή σε όποιον έχει προσπαθήσει να διαιρέσει έναν αριθμό με το μηδέν με μια αριθμομηχανή γραφικών. Η διαίρεση με το μηδέν απλά δεν επιτρέπεται στα μαθηματικά και αν το επιχειρήσετε, μια αριθμομηχανή συνήθως επιστρέφει το μήνυμα “απροσδιόριστο”, “δεν επιτρέπεται” ή απλά “σφάλμα”. Οι Ινδοί στην πραγματικότητα προσπάθησαν πολύ σκληρά να αποδείξουν ότι μπορούσες να διαιρέσεις με το μηδέν, αλλά δεν τα κατάφεραν. Ωστόσο, μπορείτε να διαιρέσετε το μηδέν με άλλους αριθμούς (αν και όχι με το μηδέν), αν και το αποτέλεσμα είναι πάντα 0. Το 0/6, για παράδειγμα, ισούται με 0.