Aproape toate obiectele matematice pot fi exprimate în mai multe moduri. De exemplu, fracția 2/6 este echivalentă cu 5/15 și -4/-12. O formă canonică este o schemă specifică pe care matematicienii o folosesc pentru a descrie obiecte dintr-o clasă dată într-un mod codificat, unic. Fiecare obiect din clasă are o singură reprezentare canonică care se potrivește cu șablonul formei canonice.
Pentru numerele raționale, forma canonică este a/b, unde a și b nu au factori comuni și b este pozitiv. O astfel de fracție este de obicei descrisă ca fiind „în termeni cei mai mici”. Când este pus în formă canonică, 2/6 devine 1/3. Dacă două fracții sunt egale ca valoare, reprezentările lor canonice sunt identice.
Formele canonice nu sunt întotdeauna cel mai comun mod de a desemna un obiect matematic. Ecuațiile liniare bidimensionale au forma canonică Ax + By + C = 0, unde C este fie 1, fie 0. Cu toate acestea, matematicienii folosesc adesea forma de intersecție cu panta – y = mx + b – atunci când fac calcule de bază. Forma pantă-intersecție nu este canonică; nu poate fi folosit pentru a descrie linia x = 4.
Matematicienii găsesc formele canonice deosebit de utile atunci când analizează sisteme abstracte, în care două obiecte pot părea semnificativ diferite, dar sunt echivalente din punct de vedere matematic. Mulțimea tuturor căilor închise de pe o gogoașă are aceeași structură matematică ca și mulțimea tuturor perechilor ordonate (a, b) de numere întregi. Un matematician poate vedea cu ușurință această legătură dacă folosește forme canonice pentru a descrie ambele mulțimi. Cele două mulțimi au aceeași reprezentare canonică, deci sunt echivalente. Pentru a răspunde la o întrebare topologică despre curbele pe o gogoașă, unui matematician ar putea găsi mai ușor să răspundă la o întrebare echivalentă, algebrică, despre perechi ordonate de numere întregi.
Multe domenii de studiu folosesc matrici pentru a descrie sisteme. O matrice este definită de intrările sale individuale, dar acele intrări deseori nu transmit caracterul matricei. Formele canonice îi ajută pe matematicieni să știe când două matrice sunt legate într-un fel care altfel nu ar fi evident.
Algebrele booleene, structura pe care logicienii o folosesc atunci când descriu propozițiile, au două forme canonice: forma normală disjunctivă și forma normală conjunctivă. Acestea sunt echivalente din punct de vedere algebric cu factorizarea sau, respectiv, extinderea polinoamelor. Un scurt exemplu ilustrează această legătură.
Directorul unui liceu ar putea spune: „Echipa de fotbal trebuie să câștige unul dintre primele două jocuri și să învingă rivalii noștri, Hornets, în al treilea joc, altfel antrenorul va fi concediat”. Această afirmație poate fi scrisă logic ca (w1 + w2) * H + F, unde „+” este operația logică „sau” și „*” este operația logică „și”. Forma normală disjunctivă pentru această expresie este w1 *H + w2 *H + F. Forma sa normală conjunctivă pentru este (w1 + w2 + F) * (H + F). Toate aceste trei expresii sunt adevărate în exact aceleași condiții, deci sunt echivalente din punct de vedere logic.
Inginerii și fizicienii folosesc, de asemenea, forme canonice atunci când iau în considerare sistemele fizice. Uneori, un sistem va fi similar din punct de vedere matematic cu altul, chiar dacă nu seamănă deloc. Ecuațiile matriceale diferențiale care sunt utilizate pentru a modela una ar putea fi identice cu cele utilizate pentru a modela cealaltă. Aceste asemănări devin evidente atunci când sistemele sunt turnate într-o formă canonică, cum ar fi forma canonică observabilă sau forma canonică controlabilă.