Orice spațiu care nu este complet plat se numește spațiu curbat. Suprafața unei sfere este spațiu curbat, la fel ca suprafața unei șei. O sferă este un exemplu de curbură pozitivă, adică dacă un triunghi este realizat cu linii drepte în spațiu curbat, unghiurile se vor aduna mai mult decât cele 180 de grade normale. O șa este un exemplu de distanță curbă negativă. Gravitația este cauzată de curbura spațiului – masa curbează spațiul, ceea ce obligă obiectele să se tragă împreună.
Teorema lui Pitagora este adesea folosită pentru a verifica dacă spațiul este plat sau curbat. Această formulă matematică folosește lungimea fiecărei laturi a unui triunghi în loc de unghiuri. Dacă lungimile se potrivesc cu ceea ce spune teorema, atunci triunghiul este în spațiu plat. Dacă lungimile nu se potrivesc exact cu teorema, atunci triunghiul este în spațiu curbat. Unghiurile sunt greu de măsurat pe distanțe lungi, dar măsurarea laturilor sau a perimetrului unui triunghi poate afișa cu ușurință natura spațiului.
Geometria euclidiană este studiul formelor din spațiul plat. Se bazează pe o listă de informații de bază, numite axiome, și demonstrează multe concepte matematice precum Teorema lui Pitagora. Axiomele sunt adesea infirmate, ceea ce înseamnă că nu sunt întotdeauna adevărate, în spațiul curbat sau geometrie non-euclidiană. Toate triunghiurile au 180 de grade în geometrie euclidiană, ceea ce este ușor de infirmat în spațiul curbat, măsurând fiecare unghi cu un raportor.
Spațiul curbat joacă un rol important în astronomia modernă. Gravitația este considerată spațiul curbat care înconjoară un corp mare care face ca obiectele mai mici să orbiteze sau să se ciocnească cu corpul mare. Acest lucru nu a fost descoperit până când Einstein și-a publicat Teoria relativității generale, care a descris pentru prima dată gravitația ca spațiu curbat. Înainte de aceasta, astronomii calculau inexact orbitele deoarece spațiul era tratat ca o formă euclidiană tridimensională. Astronomii moderni pot calcula și prezice mult mai multe cu spațiul non-euclidian, cum ar fi găurile negre și modul în care se mișcă galaxiile.
Chiar și părintele fizicii, Isaac Newton, a folosit geometria euclidiană. A fost singura modalitate de a studia formele timp de peste 2000 de ani. Apoi, la sfârșitul secolului al XIX-lea, axioma potrivit căreia liniile paralele nu se intersectează niciodată a fost infirmată de Janos Bolyai. Einstein a reușit să înțeleagă geometria non-euclidiană și cum ar putea fi folosită pentru a prezice corect orbita bizară a lui Mercur. Viziunea modernă este că adevăratele forme euclidiene există doar în spații departe de orice corp gravitațional.