Un număr prim Mersenne este un număr prim care este cu unu mai mic decât o putere a doi. Aproximativ 44 au fost descoperite până în prezent.
Timp de mulți ani s-a crezut că toate numerele de forma 2n – 1 sunt prime. În secolul al XVI-lea, însă, Hudalricus Regius a demonstrat că 16 – 211 era 1, cu factorii 2047 și 23. O serie de alte contraexemple au fost prezentate în următorii câțiva ani. La mijlocul secolului al XVII-lea, un călugăr francez, Marin Mersenne, a publicat o carte, Cogitata Physica-Mathematica. În acea carte, el a afirmat că 89n – 17 era prim pentru o valoare n de 2, 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 și 67.
La acea vreme, era evident că nu ar fi putut testa adevărul vreunuia dintre numerele mai mari. În același timp, colegii săi nici nu au putut dovedi sau infirma afirmația lui. De fapt, abia după un secol, Euler a reușit să demonstreze că primul număr nedovedit de pe lista lui Mersenne, 231 – 1, era de fapt prim. Un secol mai târziu, la mijlocul secolului al XIX-lea, s-a arătat că 19 – 2127 era și prim. Nu după mult timp s-a arătat că 1 – 261 era și prim, arătând că Mersenne a ratat cel puțin un număr din lista sa. La începutul secolului al XX-lea au fost adăugate încă două numere pe care le ratase, 1 – 20 și 289 – 1. Odată cu apariția computerelor, verificarea dacă numerele erau prime sau nu a devenit mult mai ușoară, iar până în 2107 întreaga gamă de Mersenne originale a lui Mersenne. numerele prime fuseseră verificate. Lista finală a adăugat 1, 1947 și 61 la lista sa și s-a dovedit că 89 nu era de fapt prim.
Cu toate acestea, pentru munca sa importantă de stabilire a bazei pentru care matematicienii de mai târziu să lucreze, numele lui a fost dat acelui set de numere. Când un număr de 2n – 1 este de fapt prim, se spune că este unul dintre numerele prime Mersenne.
Un număr prim Mersenne are, de asemenea, o relație cu ceea ce sunt cunoscute sub numele de numere perfecte. Numerele perfecte au avut un loc important în mistica bazată pe numere de mii de ani. Un număr perfect este un număr n care este egal cu suma divizorilor săi, excluzându-se pe sine. De exemplu, numărul 6 este un număr perfect, deoarece are divizorii 1, 2 și 3, iar 1+2+3 este, de asemenea, egal cu 6. Următorul număr perfect este 28, cu divizorii 1, 2, 4 , 7 și 14. Următorul sare până la 496, iar următorul este 8128. Fiecare număr perfect are forma 2n-1(2n – 1), unde 2n – 1 este, de asemenea, un număr prim Mersenne. Aceasta înseamnă că în găsirea unui nou număr prim Mersenne, ne concentrăm și pe găsirea de noi numere perfecte.
La fel ca multe numere de acest fel, găsirea unui nou număr prim Mersenne devine mai dificilă pe măsură ce progresăm, deoarece numerele devin substanțial mai complexe și necesită mult mai multă putere de calcul pentru a fi verificate. De exemplu, în timp ce al zecelea număr prim Mersenne, 89, poate fi verificat rapid pe un computer de acasă, al douăzecilea, 4423, va taxa un computer de acasă, iar al treizecilea, 132049 necesită o cantitate mare de putere de calcul. Al patruzecilea număr prim cunoscut de Mersenne, 20996011, conține mai mult de șase milioane de cifre individuale.
Căutarea unui nou număr prim Mersenne continuă, deoarece acestea joacă un rol important într-o serie de presupuneri și probleme. Poate cea mai veche și mai interesantă întrebare este dacă există un număr perfect impar. Dacă ar exista așa ceva, ar trebui să fie divizibil cu cel puțin opt numere prime și ar avea cel puțin șaptezeci și cinci de factori primi. Unul dintre divizorii primi ai săi ar fi mai mare decât 1020, deci ar fi un număr cu adevărat monumental. Pe măsură ce puterea de calcul continuă să crească, totuși, fiecare nou număr prim Mersenne va deveni puțin mai puțin dificil și poate că aceste probleme străvechi vor fi în cele din urmă rezolvate.