O mulțime Mandlebrot este un fractal care poate fi reprezentat folosind o funcție complexă iterativă. Un fractal este o imagine generată matematic, care este brută, neregulată și complexă. Un fractal posedă, de asemenea, auto-similaritate la multe niveluri de mărire, astfel încât părțile mici ale fractalului seamănă cu părți mai mari. Fractalii continuă să pară complexi, indiferent dacă îi măriți, ceea ce îi face pe unii să spună că au o complexitate infinită. Setul Mandlebrot este cel mai faimos exemplu de fractal, constând dintr-un cardoid, un obiect circular cu o gropiță pe o parte, înconjurat de aranjamente progresiv mai mici de cercuri apropiate și modele spiralate interesante, toate tangente unele la altele.
Matematica de bază a mulțimii Mandlebrot a fost concepută în 1905 de Pierre Fatou, un matematician francez care explorează domeniul dinamicii analitice complexe. Îi plăcea să studieze comportamentul proceselor recursive, funcții ale căror ieșiri erau reintroduse în intrările lor. Fatou a încercat să reprezinte manual unele dintre seturile sale complexe, dar au fost necesare prea multe calcule pentru ca imaginea completă a anumitor seturi (inclusiv setul Mandlebrot) să apară. Abia după distribuția computerelor desktop, trasarea acestui set a devenit practică.
Setul Mandlebrot a fost trasat pentru prima dată de profesorul Benoît Mandlebrot, un matematician care a inventat termenul fractal și a popularizat ideea într-o carte din 1975, intitulată Fractal Objects: Form, Chance and Dimension. Înainte de a fi numite fractali, aceste structuri erau denumite „curbe monstru”.
Mandlebrot a văzut conexiuni între fractali precum setul lui Mandlebrot și fenomenele din lumea reală, ceea ce l-a determinat să studieze conexiunile în detaliu. Structuri asemănătoare fractale pot fi găsite în natură, de exemplu în aranjarea petalelor pe anumite flori. Mandlebrot a subliniat că formele reale din natură nu au niciodată regularitatea blândă a structurilor geometrice euclidiene, ci de fapt seamănă mai mult cu fractalii. Alte exemple includ forme găsite în liniile de coastă și râuri, plante, vase de sânge și plămâni, grupuri de galaxii, mișcare browniană și modele de pe piața de valori.
Deoarece setul Mandlebrot este atât de complex și prezintă o asemenea variație, pasionații au dedicat mii de ore localizării structurilor unice în cadrul setului, codificându-le prin culori și împărtășindu-le altora. Structuri asemănătoare ca aspect cu întregul set pot fi găsite pe cele mai mici solzi, uneori legate de setul principal doar prin niște cârce mici. Complexitatea aparentă a setului crește de fapt odată cu mărirea. Astăzi, sunt disponibile aplicații software bune pentru pasionați pentru a reprezenta setul Mandlebrot și alți fractali și pentru a studia aspectul acestora.