În matematică, un conjugat complex este o pereche de numere cu două componente numite numere complexe. Fiecare dintre aceste numere complexe posedă o componentă de număr real adăugată unei componente imaginare. Deși valoarea lor este egală, semnul uneia dintre componentele imaginare din perechea de numere conjugate complexe este opus semnului celeilalte. În ciuda faptului că au componente imaginare, conjugatele complexe sunt folosite pentru a descrie realitățile fizice. Utilizarea conjugatelor complexe funcționează în ciuda prezenței componentelor imaginare, deoarece atunci când cele două componente sunt înmulțite împreună, rezultatul este un număr real.
Numerele imaginare sunt definite ca orice numere care la pătrat rezultă într-un număr negativ real. Acest lucru poate fi reformulat în alți termeni pentru simplificare. Un număr imaginar este orice număr real înmulțit cu rădăcina pătrată a unui negativ (-1) – prin el însuși neinteligibil. În această formă, un conjugat complex este o pereche de numere care pot fi scrise, y=a+bi și y=a–bi, unde „i” este rădăcina pătrată a lui -1. Formalist, pentru a distinge cele două valori y, una este în general scrisă cu o bară deasupra literei, ӯ, deși ocazional este folosit un asterisc.
Demonstrând că înmulțirea a două numere conjugate complexe produce un rezultat real, luăm în considerare un exemplu, y=7+2i și ӯ=7–2i. Înmulțirea acestor două dă yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Un astfel de rezultat real al înmulțirii complexe conjugate este important, în special în considerarea sistemelor la nivel atomic și sub-atomic. Frecvent, expresiile matematice pentru sisteme fizice minuscule includ o componentă imaginară. Disciplina în care acest lucru este deosebit de important este mecanica cuantică, fizica neclasică a celor foarte mici.
În mecanica cuantică, caracteristicile unui sistem fizic constând dintr-o particulă sunt descrise printr-o ecuație de undă. Tot ceea ce trebuie învățat despre particulă din sistemul său poate fi dezvăluit prin aceste ecuații. Frecvent, ecuațiile de undă prezintă o componentă imaginară. Înmulțirea ecuației cu conjugatul său complex are ca rezultat o „densitate de probabilitate” interpretabilă fizic. Caracteristicile particulei pot fi determinate prin manipularea matematică a acestei densități de probabilitate.
De exemplu, utilizarea densității de probabilitate este importantă în emisia spectrală discretă a radiației de la atomi. O astfel de aplicare a densității probabilității se numește „probabilitate născută”, după fizicianul german Max Born. Interpretarea statistică strâns legată că măsurarea unui sistem cuantic va da anumite rezultate specifice se numește regula Born. Max Born a primit Premiul Nobel pentru fizică în 1954 pentru munca sa în acest domeniu. Din păcate, încercările de a deriva regula Born din alte derivări matematice au avut rezultate mixte.