Στα μαθηματικά, ένας μιγαδικός συζυγής είναι ένα ζεύγος αριθμών δύο συστατικών που ονομάζονται μιγαδικοί αριθμοί. Καθένας από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχει μια συνιστώσα πραγματικού αριθμού που προστίθεται σε μια φανταστική συνιστώσα. Αν και η τιμή τους είναι ίση, το πρόσημο ενός από τα φανταστικά συστατικά στο ζεύγος των μιγαδικών συζευγμένων αριθμών είναι αντίθετο με το πρόσημο του άλλου. Παρά το γεγονός ότι έχουν φανταστικά συστατικά, τα σύνθετα συζεύγματα χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν φυσικές πραγματικότητες. Η χρήση σύνθετων συζυγών λειτουργεί παρά την παρουσία φανταστικών συστατικών, γιατί όταν τα δύο συστατικά πολλαπλασιάζονται μαζί, το αποτέλεσμα είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Οι φανταστικοί αριθμοί ορίζονται ως οποιοιδήποτε αριθμοί που όταν τετραγωνιστούν καταλήγουν σε πραγματικό αρνητικό αριθμό. Αυτό μπορεί να επαναδιατυπωθεί με άλλους όρους για απλοποίηση. Ένας φανταστικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός πολλαπλασιασμένος με την τετραγωνική ρίζα του αρνητικού ενός (-1) — από μόνος του ακατανόητος. Σε αυτή τη μορφή, ένας μιγαδικός συζυγής είναι ένα ζεύγος αριθμών που μπορούν να γραφτούν, y=a+bi και y=a–bi, όπου «i» είναι η τετραγωνική ρίζα του -1. Τυπικά, για να διακρίνουμε τις δύο τιμές y, η μία γράφεται γενικά με μια γραμμή πάνω από το γράμμα, ӯ, αν και περιστασιακά χρησιμοποιείται ένας αστερίσκος.
Αποδεικνύοντας ότι ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών συζευγμένων αριθμών παράγει ένα πραγματικό αποτέλεσμα, εξετάστε ένα παράδειγμα, y=7+2i και ӯ=7–2i. Πολλαπλασιάζοντας αυτά τα δύο δίνουμε yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Ένα τέτοιο πραγματικό αποτέλεσμα από πολλαπλασιασμό μιγαδικών συζυγών είναι σημαντικό, ιδιαίτερα κατά την εξέταση συστημάτων σε ατομικό και υποατομικό επίπεδο. Συχνά, οι μαθηματικές εκφράσεις για μικροσκοπικά φυσικά συστήματα περιλαμβάνουν μια φανταστική συνιστώσα. Ο κλάδος στον οποίο αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό είναι η κβαντική μηχανική, η μη κλασική φυσική των πολύ μικρών.
Στην κβαντομηχανική, τα χαρακτηριστικά ενός φυσικού συστήματος που αποτελείται από ένα σωματίδιο περιγράφονται με μια κυματική εξίσωση. Όλα όσα πρέπει να μάθουμε για το σωματίδιο στο σύστημά του μπορούν να αποκαλυφθούν από αυτές τις εξισώσεις. Συχνά, οι εξισώσεις κυμάτων διαθέτουν μια φανταστική συνιστώσα. Ο πολλαπλασιασμός της εξίσωσης με το μιγαδικό συζυγές της οδηγεί σε μια φυσικά ερμηνεύσιμη “πυκνότητα πιθανότητας”. Τα χαρακτηριστικά του σωματιδίου μπορούν να προσδιοριστούν με μαθηματικό χειρισμό αυτής της πυκνότητας πιθανότητας.
Για παράδειγμα, η χρήση της πυκνότητας πιθανότητας είναι σημαντική στη διακριτή φασματική εκπομπή ακτινοβολίας από άτομα. Μια τέτοια εφαρμογή της πυκνότητας πιθανότητας ονομάζεται “Born probability”, από το όνομα του Γερμανού φυσικού Max Born. Η σημαντική στενά συνδεδεμένη στατιστική ερμηνεία ότι η μέτρηση ενός κβαντικού συστήματος θα δώσει συγκεκριμένα αποτελέσματα ονομάζεται κανόνας Born. Ο Max Born τιμήθηκε με το Νόμπελ Φυσικής το 1954 για το έργο του σε αυτόν τον τομέα. Δυστυχώς, οι προσπάθειες εξαγωγής του κανόνα Born από άλλες μαθηματικές παραγώγους είχαν μικτά αποτελέσματα.