Ένα μπουκάλι Klein είναι ένας τύπος μη προσανατολισμένης επιφάνειας, η οποία συχνά απεικονίζεται σαν μια φιάλη με μακρύ λαιμό με λυγισμένο λαιμό που περνά μέσα της για να ανοίξει ως βάση της. Το μοναδικό σχήμα ενός μπουκαλιού Klein σημαίνει ότι έχει μόνο μία επιφάνεια – το εσωτερικό του είναι το ίδιο με το εξωτερικό του. Ένα μπουκάλι Klein δεν μπορεί πραγματικά να υπάρχει στον τρισδιάστατο, ευκλείδειο χώρο, αλλά οι αναπαραστάσεις με φυσητό γυαλί μπορούν να μας δώσουν μια ενδιαφέρουσα ματιά. Αυτό δεν είναι αληθινό μπουκάλι Klein, αλλά βοηθάει να φανταστεί κανείς τι φαντάστηκε ο Γερμανός μαθηματικός Felix Klein όταν σκέφτηκε την ιδέα του μπουκαλιού Klein.
Ένα μπουκάλι Klein περιγράφεται ως μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια, επειδή εάν ένα σύμβολο είναι προσαρτημένο στην επιφάνεια, μπορεί να γλιστρήσει γύρω-γύρω με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να επιστρέψει στην ίδια θέση με μια εικόνα καθρέφτη. Εάν προσαρτήσετε ένα σύμβολο σε μια προσανατολιζόμενη επιφάνεια, όπως το εξωτερικό μιας σφαίρας, ανεξάρτητα από το πώς μετακινείτε το σύμβολο, θα διατηρήσει τον ίδιο προσανατολισμό. Το ειδικό σχήμα του μπουκαλιού Klein σάς επιτρέπει να σύρετε το σύμβολο με τέτοιο τρόπο ώστε να παίρνει διαφορετικό προσανατολισμό – μπορεί να εμφανίζεται ως το δικό του είδωλο καθρέφτη στην ίδια επιφάνεια. Αυτή η ιδιότητα του μπουκαλιού Klein είναι που το κάνει να μη προσανατολίζεται.
Το μπουκάλι Klein πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Felix Klein. Η δουλειά του Felix Klein στα μαθηματικά τον έκανε πολύ εξοικειωμένο με τη λωρίδα Möbius. Μια λωρίδα Möbius είναι ένα κομμάτι χαρτί το οποίο περιστρέφεται κατά το ήμισυ και ενώνεται στα άκρα. Αυτή η περιστροφή μετατρέπει ένα κανονικό κομμάτι χαρτί σε μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια. Ο Felix Klein σκέφτηκε ότι αν κολλούσατε δύο λωρίδες Möbius μεταξύ τους κατά μήκος των άκρων, θα φτιάχνατε έναν νέο τύπο επιφάνειας με εξίσου περίεργες ιδιότητες – μια επιφάνεια Klein ή ένα μπουκάλι Klein.
Δυστυχώς για όσους από εμάς θα ήθελαν να δουν ένα πραγματικό μπουκάλι Klein, δεν μπορούν να κατασκευαστούν στον τρισδιάστατο, Ευκλείδειο χώρο στον οποίο ζούμε. Η ένωση των άκρων δύο λωρίδων Möbius για την κατασκευή του μπουκαλιού Klein δημιουργεί διασταυρώσεις, οι οποίες δεν μπορούν να υπάρχουν στο θεωρητικό μοντέλο. Ένα πραγματικό μοντέλο του μπουκαλιού Klein πρέπει να τέμνεται καθώς ο λαιμός του μπουκαλιού διασχίζει το πλάι. Αυτό μας δίνει κάτι που δεν είναι αληθινό, λειτουργικό μπουκάλι Klein, αλλά εξακολουθεί να είναι αρκετά ενδιαφέρον να το εξετάσουμε.
Δεδομένου ότι το μπουκάλι Klein μοιράζεται πολλές από τις περίεργες ιδιότητές του με τη λωρίδα Möbius, όσοι από εμάς δεν έχουμε τη βαθιά κατανόηση των μαθηματικών που απαιτούνται για να κατανοήσουμε πραγματικά την πολυπλοκότητα του μπουκαλιού Klein, μπορούμε να πειραματιστούμε με τη λωρίδα Möbius για να αποκτήσουμε κάποια εικόνα για τη συναρπαστική ανακάλυψη του Felix Klein. .