Το σημείο καμπής είναι μια σημαντική έννοια στον διαφορικό λογισμό. Στο σημείο της καμπής, η καμπύλη μιας συνάρτησης αλλάζει την κοιλότητα της — με άλλα λόγια, αλλάζει από αρνητική σε θετική καμπυλότητα ή αντίστροφα. Αυτό το σημείο μπορεί να οριστεί ή να απεικονιστεί με διαφορετικούς τρόπους. Σε εφαρμογές πραγματικού κόσμου όπου ένα σύστημα μοντελοποιείται χρησιμοποιώντας μια καμπύλη, η εύρεση του σημείου καμπής είναι συχνά κρίσιμη για την πρόβλεψη της συμπεριφοράς του συστήματος.
Οι συναρτήσεις στον λογισμό μπορούν να γραφτούν σε ένα επίπεδο που αποτελείται από έναν άξονα x και y, που ονομάζεται καρτεσιανό επίπεδο. Σε οποιαδήποτε δεδομένη συνάρτηση, η τιμή x, ή η τιμή που είναι η είσοδος στην εξίσωση, παράγει μια έξοδο, που αντιπροσωπεύεται από την τιμή y. Όταν σχηματίζονται γραφικά, αυτές οι τιμές σχηματίζουν μια καμπύλη.
Μια καμπύλη μπορεί να είναι είτε κοίλη προς τα πάνω είτε κοίλη προς τα κάτω, ανάλογα με τη συμπεριφορά της συνάρτησης σε ορισμένες τιμές. Μια κοίλη προς τα πάνω περιοχή εμφανίζεται σε ένα γράφημα ως καμπύλη σαν μπολ που ανοίγει προς τα πάνω, ενώ μια κοίλη προς τα κάτω περιοχή ανοίγει προς τα κάτω. Το σημείο στο οποίο αλλάζει αυτή η κοιλότητα είναι το σημείο καμπής.
Υπάρχουν μερικές διαφορετικές μέθοδοι που μπορεί να είναι χρήσιμες για την απεικόνιση του σημείου καμπής σε μια καμπύλη. Αν κάποιος τοποθετούσε ένα σημείο στην καμπύλη με μια ευθεία γραμμή που να αγγίζει την καμπύλη – μια εφαπτομένη – και να τρέξει αυτό το σημείο κατά μήκος της πορείας της καμπύλης, το σημείο καμπής θα εμφανιζόταν στο ακριβές σημείο όπου η εφαπτομένη γραμμή διασχίζει την καμπύλη.
Μαθηματικά, το σημείο καμπής είναι το σημείο όπου η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο. Η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης μετρά τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης καθώς αλλάζει η εισαγωγή της και η δεύτερη παράγωγος μετρά πώς μπορεί να αλλάζει αυτός ο ίδιος ο ρυθμός μεταβολής. Για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου σε μια δεδομένη στιγμή αντιπροσωπεύεται από την πρώτη παράγωγο, αλλά η επιτάχυνσή του — αυξανόμενη ή φθίνουσα ταχύτητα — αντιπροσωπεύεται από τη δεύτερη παράγωγο. Εάν το αυτοκίνητο ανεβάσει ταχύτητα, η δεύτερη παράγωγός του είναι θετική, αλλά στο σημείο που σταματά να επιταχύνει και αρχίζει να επιβραδύνει, η επιτάχυνσή του και η δεύτερη παράγωγός του γίνονται αρνητικές. Αυτό είναι το σημείο καμπής.
Για να το οπτικοποιήσουμε αυτό γραφικά, είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η κοιλότητα της καμπύλης μιας συνάρτησης εκφράζεται από τη δεύτερη παράγωγό της. Μια θετική δεύτερη παράγωγος δείχνει μια κοίλη προς τα πάνω καμπύλη και μια αρνητική δεύτερη παράγωγος δείχνει μια κοίλη προς τα κάτω κοίλη. Είναι δύσκολο να εντοπιστεί το ακριβές σημείο καμπής σε ένα γράφημα, επομένως για εφαρμογές όπου είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ακριβή τιμή του, το σημείο καμπής μπορεί να λυθεί μαθηματικά.
Μια μέθοδος εύρεσης του σημείου καμπής μιας συνάρτησης είναι να πάρουμε τη δεύτερη παράγωγό της, να την ορίσουμε ίση με το μηδέν και να λύσουμε το x. Δεν θα είναι κάθε μηδενική τιμή σε αυτήν τη μέθοδο ένα σημείο καμπής, επομένως είναι απαραίτητο να ελέγξετε τις τιμές και στις δύο πλευρές του x = 0 για να βεβαιωθείτε ότι το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου όντως αλλάζει. Εάν το κάνει, η τιμή στο x είναι ένα σημείο καμπής.