Η αναλυτική δυναμική είναι μια σύγχρονη διατύπωση της κλασικής μηχανικής. είναι ο κλάδος της φυσικής που περιγράφει τις επιπτώσεις των δυνάμεων στην κίνηση των φυσικών αντικειμένων. Οι θεωρίες του Sir Isaac Newton και ο λογισμός που ανέπτυξε για τη διατύπωσή τους αποτελούν τη βάση αυτού του πεδίου. Αργότερα επιστήμονες, όπως ο Joseph-Louis Lagrange και ο William Rowan Hamilton, γενίκευσαν τη συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων με τη χρήση πιο προηγμένων και περιγραφικών μαθηματικών. Αυτή η εργασία ήταν σημαντική για τη μελέτη των θεωριών πεδίου, όπως ο ηλεκτρομαγνητισμός, και η μετέπειτα ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής.
Στη φυσική του Νεύτωνα, οι δυνάμεις ενεργούν στην κίνηση των σωμάτων σαν τα αντικείμενα να ήταν απειροελάχιστα μικρά. Τα περιστρεφόμενα αντικείμενα αντιμετωπίζονταν σαν άκαμπτα ή μη παραμορφώσιμα λόγω της κίνησής τους. Αυτές οι υποθέσεις δίνουν εξαιρετικά ακριβείς προσεγγίσεις του πραγματικού κόσμου και είναι ιδιαίτερα επιδεκτικές στη λύση μέσω του λογισμού του Νεύτωνα. Μαθηματικά, η δύναμη αντιμετωπίζεται ως διάνυσμα, μια ποσότητα που έχει κατεύθυνση και μέγεθος. Ο στόχος ήταν να υπολογιστεί, δεδομένης της αρχικής θέσης και της ταχύτητας ενός αντικειμένου, η θέση του σε κάποια αυθαίρετη στιγμή στο μέλλον.
Η μεθοδολογία αναλυτικής δυναμικής επεκτείνει το πεδίο εφαρμογής της Νευτώνειας μηχανικής καθιστώντας μια πιο αφηρημένη περιγραφή. Τα μαθηματικά του δεν περιγράφουν απλώς τη θέση των αντικειμένων, αλλά μπορούν επίσης να εφαρμοστούν σε γενικά φυσικά συστήματα. Μεταξύ αυτών είναι οι θεωρίες πεδίου όπως αυτές που περιγράφουν τον ηλεκτρομαγνητισμό και τη γενική σχετικότητα. Κάθε σημείο σε ένα πεδίο μπορεί να συσχετιστεί, μεταξύ άλλων, με ένα διάνυσμα ή ένα βαθμωτό, μια ποσότητα που έχει μόνο μέγεθος και όχι κατεύθυνση. Γενικά, η αναλυτική δυναμική χρησιμοποιεί δύο βαθμωτές ιδιότητες, την κινητική και την δυνητική ενέργεια, για να αναλύσει την κίνηση και όχι τα διανύσματα.
Η μηχανική του Λαγκρανζ, που εισήχθη στα τέλη του 18ου αιώνα, συνδύασε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, τη διατήρηση της ορμής, με τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, τη διατήρηση της ενέργειας. Αυτή η διατύπωση αναλυτικής δυναμικής είναι ισχυρή και αποτελεί τη βάση των περισσότερων σύγχρονων θεωριών. Οι εξισώσεις Lagrangian αποκαλύπτουν όλες τις σχετικές πληροφορίες για ένα σύστημα και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τα πάντα, από τη Νευτώνεια μηχανική έως τη γενική σχετικότητα.
Το 1833, παρουσιάστηκε μια περαιτέρω βελτίωση στην αναλυτική δυναμική με τη μορφή της μηχανικής του Χαμιλτονίου, η οποία διαφέρει από τη μέθοδο του Λαγκρανζ στον τρόπο που περιγράφει τις ιδιότητες ενός συστήματος. Ο σκοπός δεν ήταν να προσφέρουμε μια πιο βολική μέθοδο επίλυσης προβλημάτων, αλλά να παράσχουμε βαθύτερη εικόνα της φύσης των πολύπλοκων δυναμικών συστημάτων. Με μια περαιτέρω γενίκευση, οι εξισώσεις Hamiltonian έγιναν αργότερα εφαρμόσιμες στην περιγραφή της κβαντικής μηχανικής καθώς και στην κλασική. Η αφαίρεση που απαιτείται για την εμβάθυνση της διορατικότητας της αναλυτικής δυναμικής έχει επίσης διευρύνει το πεδίο της έρευνάς της σε άλλους τομείς της επιστήμης.