Η υπεργεωμετρική κατανομή περιγράφει την πιθανότητα ορισμένων γεγονότων όταν μια ακολουθία αντικειμένων σχεδιάζεται από ένα σταθερό σύνολο, όπως η επιλογή τραπουλόχαρτων από μια τράπουλα. Το βασικό χαρακτηριστικό των γεγονότων που ακολουθούν την υπεργεωμετρική κατανομή πιθανοτήτων είναι ότι τα στοιχεία δεν αντικαθίστανται μεταξύ των κληρώσεων. Αφού επιλεγεί ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, δεν μπορεί να επιλεγεί ξανά. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι πιο σημαντικό όταν εργάζεστε με μικρούς πληθυσμούς.
Οι ελεγκτές αξιολόγησης ποιότητας χρησιμοποιούν την υπεργεωμετρική κατανομή όταν αναλύουν τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων σε μια δεδομένη ομάδα. Τα προϊόντα αφήνονται στην άκρη αφού υποβληθούν σε δοκιμή γιατί δεν υπάρχει λόγος να δοκιμάσετε το ίδιο προϊόν δύο φορές. Έτσι, η επιλογή γίνεται χωρίς αντικατάσταση.
Οι πιθανότητες πόκερ υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την υπεργεωμετρική κατανομή επειδή τα φύλλα δεν ανακατεύονται πίσω στην τράπουλα μέσα σε ένα δεδομένο χέρι. Αρχικά, για παράδειγμα, το ένα τέταρτο των φύλλων σε μια τυπική τράπουλα είναι μπαστούνια, αλλά η πιθανότητα να μοιράζονται δύο φύλλα και να βρεθούν και τα δύο σαν μπαστούνια δεν είναι 1/4 * 1/4 = 1/16. Μετά τη λήψη του πρώτου μπαστούνι, απομένουν λιγότερα μπαστούνια στο κατάστρωμα, επομένως η πιθανότητα να σας μοιραστούν άλλο ένα φτυάρι είναι μόνο 12/51. Επομένως, η πιθανότητα να σας μοιραστούν δύο φύλλα και να βρεθούν και τα δύο σαν μπαστούνια είναι 1/4 * 12/51 = 1/17.
Τα αντικείμενα δεν αντικαθίστανται μεταξύ κληρώσεων, επομένως η πιθανότητα ακραίων σεναρίων μειώνεται για μια υπεργεωμετρική κατανομή. Κάποιος μπορεί να συγκρίνει το να μοιράζονται κόκκινες ή μαύρες κάρτες από μια τυπική τράπουλα με το χτύπημα ενός νομίσματος. Ένα δίκαιο νόμισμα θα προσγειωθεί στα “κεφάλια” τις μισές φορές και τα μισά φύλλα σε μια τυπική τράπουλα είναι μαύρα. Ωστόσο, η πιθανότητα να πάρεις πέντε διαδοχικά κεφάλια όταν γυρίζεις ένα κέρμα είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να σου μοιράσουν ένα χέρι πέντε φύλλων και να βρεθούν όλα ως μαύρα φύλλα. Η πιθανότητα πέντε συνεχόμενων κεφαλιών είναι 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32, ή περίπου 3 τοις εκατό, και η πιθανότητα πέντε μαύρων φύλλων είναι 26/52 * 25/ 51 * 24/50 * 23/49 * 22/48 = 253/9996, ή περίπου 2.5 τοις εκατό.
Η δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση μειώνει την πιθανότητα ακραίων περιπτώσεων, αλλά δεν επηρεάζει τον αριθμητικό μέσο όρο της κατανομής. Ο μέσος αριθμός των κεφαλιών που αναμένεται όταν κάποιος γυρίζει ένα νόμισμα πέντε φορές είναι 2.5 και αυτό ισούται με τον μέσο αριθμό μαύρων φύλλων που αναμένεται σε ένα χέρι πέντε φύλλων. Όπως είναι πολύ απίθανο και τα πέντε φύλλα να είναι μαύρα, είναι επίσης απίθανο κανένα από αυτά να μην είναι. Αυτό περιγράφεται σε μαθηματική γλώσσα λέγοντας ότι η αντικατάσταση μειώνει τη διακύμανση χωρίς να επηρεάζει την αναμενόμενη τιμή μιας κατανομής.