Ένας πρώτος αριθμός Mersenne είναι ένας πρώτος αριθμός που είναι ένας μικρότερος από τη δύναμη του δύο. Μέχρι σήμερα έχουν ανακαλυφθεί περίπου 44.
Για πολλά χρόνια πίστευαν ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής 2n – 1 ήταν πρώτοι. Τον 16ο αιώνα, ωστόσο, ο Hudalricus Regius έδειξε ότι το 211 – 1 ήταν το 2047, με τους παράγοντες 23 και 89. Μια σειρά από άλλα αντιπαραδείγματα παρουσιάστηκαν τα επόμενα χρόνια. Στα μέσα του 17ου αιώνα, ένας Γάλλος μοναχός, ο Marin Mersenne δημοσίευσε ένα βιβλίο, το Cogitata Physica-Mathematica. Σε εκείνο το βιβλίο, δήλωσε ότι το 2n – 1 ήταν πρώτο για μια τιμή n 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 και 257.
Εκείνη την εποχή, ήταν προφανές ότι δεν υπήρχε περίπτωση να είχε δοκιμάσει την αλήθεια οποιουδήποτε από τους υψηλότερους αριθμούς. Ταυτόχρονα, οι συνομήλικοί του επίσης δεν μπορούσαν να αποδείξουν ή να διαψεύσουν τον ισχυρισμό του. Στην πραγματικότητα, μόλις έναν αιώνα αργότερα ο Euler μπόρεσε να αποδείξει ότι ο πρώτος μη αποδεδειγμένος αριθμός στη λίστα του Mersenne, 231 – 1, ήταν στην πραγματικότητα πρώτος. Έναν αιώνα αργότερα, στα μέσα του 19ου αιώνα, αποδείχθηκε ότι το 2127 – 1 ήταν επίσης πρωταρχικό. Λίγο αργότερα αποδείχθηκε ότι το 261 – 1 ήταν επίσης πρώτο, δείχνοντας ότι ο Mersenne είχε χάσει τουλάχιστον έναν αριθμό στη λίστα του. Στις αρχές του 20ου αιώνα προστέθηκαν άλλοι δύο αριθμοί που είχε χάσει, 289 – 1 και 2107 – 1. Με την εμφάνιση των υπολογιστών ο έλεγχος αν οι αριθμοί ήταν πρώτοι ή όχι έγινε πολύ πιο εύκολος, και μέχρι το 1947 ολόκληρη η γκάμα του αρχικού Mersenne του Mersenne οι πρώτοι αριθμοί είχαν ελεγχθεί. Η τελική λίστα πρόσθεσε 61, 89 και 107 στη λίστα του και αποδείχθηκε ότι το 257 δεν ήταν στην πραγματικότητα πρωταρχικό.
Παρ’ όλα αυτά, για το σημαντικό έργο του στη δημιουργία μιας βάσης για να εργαστούν οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί, το όνομά του δόθηκε σε αυτό το σύνολο αριθμών. Όταν ένας αριθμός 2n – 1 είναι στην πραγματικότητα πρώτος, λέγεται ότι είναι ένας από τους πρώτους αριθμούς Mersenne.
Ένας πρώτος αριθμός Mersenne έχει επίσης σχέση με αυτούς που είναι γνωστοί ως τέλειοι αριθμοί. Οι τέλειοι αριθμοί έχουν σημαντική θέση στον μυστικισμό που βασίζεται στους αριθμούς για χιλιάδες χρόνια. Τέλειος αριθμός είναι ένας αριθμός n που είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του, εξαιρουμένου του εαυτού του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι τέλειος αριθμός, γιατί έχει τους διαιρέτες 1, 2, και 3, και 1+2+3 ισούται επίσης με 6. Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι το 28, με τους διαιρέτες 1, 2, 4 , 7 και 14. Ο επόμενος πηδά στο 496 και ο επόμενος είναι 8128. Κάθε τέλειος αριθμός έχει τη μορφή 2n-1(2n – 1), όπου το 2n – 1 είναι επίσης πρώτος αριθμός Mersenne. Αυτό σημαίνει ότι κατά την εύρεση ενός νέου πρώτου αριθμού Mersenne, εστιάζουμε επίσης στην εύρεση νέων τέλειων αριθμών.
Όπως πολλοί αριθμοί αυτού του είδους, η εύρεση ενός νέου πρώτου αριθμού Mersenne γίνεται πιο δύσκολη καθώς προχωράμε, επειδή οι αριθμοί γίνονται σημαντικά πιο περίπλοκοι και απαιτούν πολύ περισσότερη υπολογιστική ισχύ για έλεγχο. Για παράδειγμα, ενώ ο δέκατος πρώτος αριθμός Mersenne, 89, μπορεί να ελεγχθεί γρήγορα σε έναν οικιακό υπολογιστή, ο εικοστός, 4423, θα φορολογήσει έναν οικιακό υπολογιστή και ο τριακοστός, 132049 απαιτεί μεγάλη ποσότητα υπολογιστικής ισχύος. Ο σαράντα γνωστός πρώτος αριθμός Mersenne, 20996011 περιέχει περισσότερα από έξι εκατομμύρια μεμονωμένα ψηφία.
Η αναζήτηση ενός νέου πρώτου αριθμού Mersenne συνεχίζεται, καθώς παίζουν σημαντικό ρόλο σε μια σειρά από εικασίες και προβλήματα. Ίσως η παλαιότερη και πιο ενδιαφέρουσα ερώτηση είναι αν υπάρχει μονός τέλειος αριθμός. Αν υπήρχε κάτι τέτοιο, θα έπρεπε να διαιρείται με τουλάχιστον οκτώ πρώτους αριθμούς και θα είχε τουλάχιστον εβδομήντα πέντε πρώτους παράγοντες. Ένας από τους πρώτους διαιρέτες του θα ήταν μεγαλύτερος από το 1020, επομένως θα ήταν ένας πραγματικά μνημειώδης αριθμός. Καθώς η υπολογιστική ισχύς συνεχίζει να αυξάνεται, ωστόσο, κάθε νέος πρώτος αριθμός Mersenne θα γίνεται λίγο λιγότερο δύσκολος και ίσως αυτά τα αρχαία προβλήματα τελικά να λυθούν.