Teoria mulțimilor constituie cea mai mare parte a bazei matematicii moderne și a fost oficializată la sfârșitul anilor 1800. Teoria seturilor descrie câteva idei foarte fundamentale și intuitive despre modul în care lucrurile numite „elemente” sau „membri” se potrivesc în grupuri. În ciuda simplității aparente a ideilor, teoria mulțimilor este destul de riguroasă. Căutând să elimine orice arbitrar din teoriile lor, matematicienii au perfecţionat teoria seturilor într-un grad impresionant de-a lungul anilor.
În teoria mulțimilor, o mulțime este orice grup bine definit de elemente sau membri. Seturile sunt de obicei simbolizate cu majuscule cu caractere italice, cum ar fi A sau B. Dacă două seturi conțin aceiași membri, ele pot fi afișate ca echivalente cu semnul egal.
Conținutul unui set poate fi descris într-o engleză simplă: A = toate mamiferele terestre. Conținutul poate fi, de asemenea, enumerat între paranteze: A = {ursi, vaci, porci, etc.} Pentru seturi mari, se pot folosi puncte suspensive, unde modelul setului este evident. De exemplu, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Un tip de set are zero membri, setul cunoscut sub numele de multime gol. Este simbolizat printr-un zero cu o linie diagonală ascendentă de la stânga la dreapta. Deși aparent banal, se dovedește a fi destul de important din punct de vedere matematic.
Unele seturi conțin alte seturi, prin urmare fiind etichetate superseturi. Mulțimile conținute sunt submulțimi. În teoria mulțimilor, această relație este denumită „includere” sau „conținere”, simbolizată printr-o notație care arată ca litera U rotită cu 90 de grade spre dreapta. Grafic, acesta poate fi reprezentat ca un cerc cuprins în alt cerc, mai mare.
Unele mulțimi comune în teoria mulțimilor includ N, mulțimea tuturor numerelor naturale; Z, mulțimea tuturor numerelor întregi; Q, mulțimea tuturor numerelor raționale; R, mulțimea tuturor numerelor reale; și C, mulțimea tuturor numerelor complexe.
Când două seturi se suprapun, dar niciunul nu este complet încorporat în celălalt, totul se numește o uniune de mulțimi. Acesta este reprezentat de un simbol similar cu litera U, dar puțin mai larg. În notația de mulțime, AUB înseamnă „mulțimea elementelor care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B”. Întoarceți acest simbol cu susul în jos și obțineți intersecția dintre A și B, care se referă la toate elementele care sunt membre ale ambelor mulțimi. În teoria mulțimilor, seturile pot fi, de asemenea, „scăzute” unele de altele, rezultând complemente. De exemplu, B – A este echivalent cu mulțimea de elemente care sunt membri ai lui B, dar nu A.
Din bazele de mai sus, cea mai mare parte a matematicii este derivată. Aproape toate sistemele matematice conțin proprietăți care pot fi descrise fundamental în termeni de teoria mulțimilor.