Spory kapitałowe to każde postępowanie sądowe, w którym rozstrzyga się o możliwości wymierzenia kary śmierci. W wielu jurysdykcjach kara śmierci nazywana jest karą śmierci, a każdy proces karny, w którym można nałożyć karę śmierci, nazywa się procesem śmierci. Generalnie karze śmierci podlegają tylko osoby, które popełniły najpoważniejsze zabójstwa. Kara śmierci jest oczywiście najpoważniejszą i nieodwołalną karą, więc postępowanie sądowe ma wiele cech szczególnych. Dotyczy to nie tylko winy oskarżonego, ale także tego, czy jest on typem przestępcy, który został słusznie skazany na śmierć.
Niektóre jurysdykcje nakładają karę śmierci za morderstwo z premedytacją, zabójstwo funkcjonariusza organów ścigania lub inne poważne zabójstwa. W tych jurysdykcjach każdy proces dotyczący tego rodzaju morderstwa będzie sporem kapitałowym. Pierwsza faza każdego takiego sporu kapitałowego jest podobna do każdego innego procesu karnego, tj. ustalenie winy lub niewinności oskarżonego.
Jeżeli oskarżony lub oskarżony zostanie uznany za winnego w procesie karnym, proces przechodzi do fazy karnej. Ta faza skupia się na tym, czy oskarżony powinien zostać skazany na śmierć, czy na karę więzienia. Na przykład w jurysdykcjach w Stanach Zjednoczonych, w których obowiązuje kara śmierci, proces ten często koncentruje się na czynnikach obciążających przemawiających za nałożeniem kary śmierci i czynnikach łagodzących, które przemawiają przeciwko nałożeniu tej kary. Udowodnienie lub obalenie tych czynników łagodzących i obciążających jest ważną częścią sporu kapitałowego.
Jurysdykcje stosujące karę śmierci zazwyczaj przewidują szerokie automatyczne odwołania. Niektórzy obrońcy w sprawach karnych specjalizują się w rozpatrywaniu odwołań od kary śmierci. Apelacje mają na celu dokładne rozważenie, czy dowody wspierały skazanie oskarżonego. Sprawdzają również między innymi, czy oskarżony został prawidłowo skazany na karę śmierci w oparciu o czynniki obciążające i łagodzące, czy też w trakcie procesu popełniono błędy proceduralne.
W krajach, które mają pisemną konstytucję, spory kapitałowe mogą również koncentrować się na tym, czy kara śmierci jest konstytucyjnie dopuszczalna. Na przykład konstytucja USA zakazuje „okrutnych i niezwykłych kar”. Kwestią często poruszaną w apelacji jest to, czy sposób wykonania kary jest zgodny z konstytucją. Niektórzy prawnicy specjalizujący się w sporach kapitałowych skupiają się prawie wyłącznie na tych wyzwaniach konstytucyjnych, a nie na indywidualnych faktach i kwestiach podniesionych w konkretnej sprawie. Spór kapitałowy skupiający się na tych kwestiach konstytucyjnych zakwestionował na przykład, czy śmiertelny zastrzyk jest zbyt okrutny, aby można go było zastosować jako formę egzekucji.