Topologia este o ramură a matematicii care se ocupă cu studiul suprafețelor sau al spațiilor abstracte, unde mărimile măsurabile nu sunt importante. Datorită acestei abordări unice a matematicii, topologia este uneori denumită geometrie a foii de cauciuc, deoarece se presupune că formele luate în considerare există pe foi de cauciuc extensibile la infinit. În geometria tipică, formele fundamentale precum cercul, pătratul și dreptunghiul sunt baza pentru toate calculele, dar, în topologie, baza este una a continuității și a poziției punctelor unul față de celălalt.
O hartă topologică poate avea puncte care împreună ar forma o formă geometrică, cum ar fi un triunghi. Această colecție de puncte este privită ca un spațiu care rămâne neschimbat; cu toate acestea, indiferent de modul în care este răsucită sau întinsă, ca punctele de pe o foaie de cauciuc, ar rămâne neschimbată indiferent sub ce formă a fost. Acest tip de cadru conceptual pentru matematică este adesea folosit în zonele în care deformarea la scară mare sau mică are loc adesea, cum ar fi puțurile gravitaționale în spațiu, analiza fizicii particulelor la nivel subatomic și în studiul structurilor biologice, cum ar fi schimbarea formei proteinelor.
Geometria topologiei nu se ocupă de dimensiunea spațiilor, astfel încât suprafața unui cub are aceeași topologie ca cea a unei sfere, deoarece o persoană își poate imagina că sunt răsucite pentru a trece de la o formă la alta. Asemenea forme care au caracteristici identice sunt denumite homeomorfe. Un exemplu de două forme topologice care nu sunt homeomorfe sau care nu pot fi modificate pentru a se asemăna una cu cealaltă sunt o sferă și un tor sau forma gogoși.
Descoperirea proprietăților spațiale de bază ale spațiilor definite este un obiectiv principal în topologie. O hartă topologică a seturilor de nivel de bază este denumită un set de spații euclidiene. Spațiile sunt clasificate după numărul lor de dimensiuni, unde o linie este un spațiu într-o dimensiune, iar un plan un spațiu în două. Spațiul pe care îl experimentează ființele umane este denumit spațiu euclidian tridimensional. Seturile mai complicate de spații sunt numite varietăți, care apar diferite la nivel local decât la scară largă.
Seturile multiple și teoria nodurilor încearcă să explice suprafețele în multe dimensiuni dincolo de ceea ce este perceptibil la nivel uman literal, iar spațiile sunt legate de invarianți algebrici pentru a le clasifica. Acest proces de teorie a homotopiei, sau relația dintre spații topologice identice, a fost inițiat de Henri Poincaré, un matematician francez care a trăit între 1854 și 1912. Matematicienii au dovedit munca lui Poincaré în toate dimensiunile, cu excepția celor trei, în care schemele complete de clasificare pentru topologii rămân evazive.