Ο Ελβετός μαθηματικός του 18ου αιώνα Leonhard Euler ανέπτυξε δύο εξισώσεις που έγιναν γνωστές ως τύπος του Euler. Μία από αυτές τις εξισώσεις συσχετίζει τον αριθμό των κορυφών, των όψεων και των ακμών σε ένα πολύεδρο. Ο άλλος τύπος συσχετίζει τις πέντε πιο κοινές μαθηματικές σταθερές μεταξύ τους. Αυτές οι δύο εξισώσεις κατατάχθηκαν στη δεύτερη και πρώτη, αντίστοιχα, ως τα πιο κομψά μαθηματικά αποτελέσματα σύμφωνα με το “The Mathematical Intelligencer”.
Ο τύπος του Euler για τα πολύεδρα ονομάζεται μερικές φορές και θεώρημα Euler-Descartes. Δηλώνει ότι ο αριθμός των όψεων, συν τον αριθμό των κορυφών, μείον τον αριθμό των ακμών σε ένα πολύεδρο ισούται πάντα με δύο. Γράφεται ως F + V – E = 2. Για παράδειγμα, ένας κύβος έχει έξι όψεις, οκτώ κορυφές και 12 άκρες. Συνδέοντας στον τύπο του Euler, το 6 + 8 – 12 είναι, στην πραγματικότητα, ίσο με δύο.
Υπάρχουν εξαιρέσεις σε αυτόν τον τύπο, επειδή ισχύει μόνο για ένα πολύεδρο που δεν τέμνεται από τον εαυτό του. Τα γνωστά γεωμετρικά σχήματα, όπως οι σφαίρες, οι κύβοι, τα τετράεδρα και τα οκτάγωνα, είναι όλα μη τέμνοντα πολύεδρα. Ωστόσο, θα δημιουργηθεί ένα τεμνόμενο πολύεδρο, εάν κάποιος ένωνε δύο από τις κορυφές ενός μη τεμνόμενου πολυέδρου. Αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα το πολύεδρο να έχει τον ίδιο αριθμό όψεων και ακμών, αλλά μία λιγότερη κορυφή, επομένως είναι προφανές ότι ο τύπος δεν είναι πλέον αληθινός.
Από την άλλη πλευρά, μια γενικότερη εκδοχή του τύπου του Euler μπορεί να εφαρμοστεί στα πολύεδρα που τέμνονται μεταξύ τους. Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται συχνά στην τοπολογία, η οποία είναι η μελέτη των χωρικών ιδιοτήτων. Σε αυτήν την έκδοση του τύπου, τα F + V – E ισούται με έναν αριθμό που ονομάζεται χαρακτηριστικό του Euler, το οποίο συχνά συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα chi. Για παράδειγμα, τόσο ο δακτύλιος σε σχήμα ντόνατ όσο και η λωρίδα Mobius έχουν ένα χαρακτηριστικό Euler μηδέν. Το χαρακτηριστικό του Euler μπορεί επίσης να είναι μικρότερο από μηδέν.
Ο δεύτερος τύπος του Euler περιλαμβάνει τις μαθηματικές σταθερές e, i, Π, 1 και 0. E, που συχνά ονομάζεται αριθμός Euler και είναι ένας παράλογος αριθμός που στρογγυλεύει στο 2.72. Ο φανταστικός αριθμός i ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του -1. Το Pi (Π), η σχέση μεταξύ της διαμέτρου και της περιφέρειας ενός κύκλου, είναι περίπου 3.14 αλλά, όπως και το e, είναι ένας παράλογος αριθμός.
Αυτός ο τύπος γράφεται ως e(i*Π) + 1 = 0. Ο Euler ανακάλυψε ότι αν το Π αντικαθιστούσε το x στην τριγωνομετρική ταυτότητα e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), το αποτέλεσμα ήταν αυτό που σήμερα γνωρίζουμε ως τύπος του Euler. Εκτός από τη συσχέτιση αυτών των πέντε θεμελιωδών σταθερών, ο τύπος δείχνει επίσης ότι η αύξηση ενός άρρητου αριθμού στη δύναμη ενός φανταστικού άρρητου αριθμού μπορεί να οδηγήσει σε έναν πραγματικό αριθμό.