Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος με βάση e. Ο Σκωτσέζος μαθηματικός John Napier (1550-1617) επινόησε τον λογάριθμο. Αν και δεν εισήγαγε ο ίδιος την έννοια του φυσικού λογάριθμου, η συνάρτηση μερικές φορές ονομάζεται λογάριθμος του Ναπιερίου. Ο φυσικός λογάριθμος χρησιμοποιείται σε πολλές επιστημονικές και μηχανικές εφαρμογές.
Ο John Napier ανέπτυξε το όνομα «λογάριθμος» ως συνδυασμό των ελληνικών λέξεων logos και arithmos. Οι αγγλικές μεταφράσεις είναι «ratio» και «numbers», αντίστοιχα. Ο Napier πέρασε 20 χρόνια δουλεύοντας στη θεωρία του για τους λογαρίθμους και δημοσίευσε το έργο του στο βιβλίο Mirifici Logarithmorum canonis descriptio το 1614. Η αγγλική μετάφραση του τίτλου είναι A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Ο φυσικός λογάριθμος χαρακτηρίζεται ως ο λογάριθμος της βάσης e, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται σταθερά του Napier. Αυτός ο αριθμός είναι επίσης γνωστός ως αριθμός Euler. Το γράμμα “e” χρησιμοποιείται για να τιμήσει τον Leonhard Euler (1707-1783) και χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον ίδιο τον Euler σε μια επιστολή προς τον Christian Goldbach το 1731.
Το αντίστροφο της φυσικής εκθετικής συνάρτησης, που ορίζεται ως f(x) = ex, είναι η φυσική λογαριθμική συνάρτηση. Αυτή η συνάρτηση γράφεται ως f(x) = ln(x). Αυτή η ίδια συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως f(x) = loge(x), αλλά ο τυπικός συμβολισμός είναι f(x) = ln(x).
Το πεδίο ορισμού του φυσικού λογάριθμου είναι (0, άπειρο) και το εύρος είναι (-άπειρο, άπειρο). Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι κοίλο, στραμμένο προς τα κάτω. Η ίδια η συνάρτηση είναι αυξανόμενη, συνεχής και ένα προς ένα.
Ο φυσικός λογάριθμος του 1 είναι ίσος με 0. Αν υποθέσουμε ότι οι a και b είναι θετικοί αριθμοί, τότε ο ln(a*b) είναι ίσος με ln(a) + ln(b) και ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Αν τα a και b είναι θετικοί αριθμοί και το n είναι ρητός αριθμός, τότε ln(an) = n*ln(a). Αυτές οι ιδιότητες των φυσικών λογαρίθμων είναι χαρακτηριστικές όλων των λογαριθμικών συναρτήσεων.
Ο πραγματικός ορισμός της φυσικής λογαριθμικής συνάρτησης μπορεί να βρεθεί στο ολοκλήρωμα του 1/t dt. Το ολοκλήρωμα είναι από το 1 έως το x με x > 0. Ο αριθμός του Euler, e, δηλώνει τον θετικό πραγματικό αριθμό έτσι ώστε το ολοκλήρωμα του 1/t dt από το 1 στο e να είναι ίσο με 1. Ο αριθμός του Euler είναι ένας άρρητος αριθμός και είναι περίπου ίσος στο 2.7182818285.
Η παράγωγος της φυσικής λογαριθμικής συνάρτησης ως προς το x είναι 1/x. Η παράγωγος ως προς το x του αντιστρόφου της λογαριθμικής συνάρτησης, η φυσική εκθετική συνάρτηση, είναι εκπληκτικά και πάλι η φυσική εκθετική συνάρτηση. Με άλλα λόγια, η φυσική εκθετική συνάρτηση είναι η δική της παράγωγος.