Μια γωνία Euler είναι ένας όρος που αντιπροσωπεύει μια τρισδιάστατη περιστροφή και τις τρεις ξεχωριστές γωνίες που συνθέτουν την περιστροφή. Οι γωνίες Euler μπορούν να εφαρμοστούν σε διάφορες πτυχές των μαθηματικών, της μηχανικής και της φυσικής. Χρησιμοποιούνται στην κατασκευή συσκευών όπως αεροπλάνα και τηλεσκόπια. Λόγω των μαθηματικών που εμπλέκονται, οι γωνίες Euler αναπαρίστανται συχνά αλγεβρικά.
Η αντιμετώπιση της ορολογίας των γωνιών Euler μπορεί να είναι δύσκολη λόγω της εκτεταμένης ασυνέπειας στο πεδίο. Ένας τρόπος εντοπισμού και παρακολούθησης των γωνιών είναι η χρήση ενός τυπικού συνόλου όρων για αυτές. Παραδοσιακά, η γωνία Euler που εφαρμόζεται πρώτη ονομάζεται επικεφαλίδα. Η γωνία που εφαρμόζεται δεύτερη είναι η στάση, ενώ η τρίτη και τελευταία γωνία που εφαρμόζεται αναφέρεται ως τράπεζα.
Ένα σύστημα συντεταγμένων για τις συντεταγμένες και τις περιστροφές των γωνιών Euler είναι επίσης απαραίτητο για τη μέτρηση του αντικειμένου. Πρώτον, είναι σημαντικό να καθοριστεί η σειρά συνδυασμού γωνιών. Η σειρά των 3-d περιστροφών χρησιμοποιεί συχνά μια αναπαράσταση xyz, με κάθε γράμμα να αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο. Αυτό επιτρέπει 12 διαφορετικές ακολουθίες γωνιών.
Κάθε γωνία Euler μπορεί να μετρηθεί είτε σε σχέση με το έδαφος είτε σε σχέση με το αντικείμενο που περιστρέφεται. Όταν ληφθεί υπόψη αυτός ο παράγοντας, ο αριθμός των πιθανών ακολουθιών διπλασιάζεται σε 24. Όταν το έργο απαιτεί μια αναπαράσταση σε απόλυτες συντεταγμένες, γενικά έχει νόημα να μετρηθεί σε σχέση με το έδαφος. Όταν η εργασία απαιτεί τον υπολογισμό της δυναμικής του αντικειμένου, κάθε γωνία Euler θα πρέπει να μετράται με βάση τις συντεταγμένες του περιστρεφόμενου αντικειμένου.
Μια γωνία Euler γίνεται γενικά πιο ξεκάθαρη από ένα σχέδιο. Αυτός μπορεί να είναι ένας απλός τρόπος για να διαμορφώσετε τις γωνίες, αλλά μπορεί να γίνει πολύπλοκο όταν τεθεί σε κίνηση μια δεύτερη περιστροφή. Πρέπει τώρα να μετρηθεί ένα δεύτερο σύνολο τριών γωνιών Euler και δεν μπορούν απλώς να προστεθούν στο πρώτο σύνολο επειδή η σειρά των περιστροφών είναι κρίσιμη. Ανάλογα με τον άξονα στον οποίο συμβαίνει η περιστροφή, μια περιστροφή μπορεί φυσικά να ακυρωθεί.
Για να διατηρείται κάθε γωνία Euler και οι αντίστοιχες περιστροφές της ευθείες, χρησιμοποιείται συχνά ένας αλγεβρικός πίνακας. Μια περιστροφή γύρω από έναν άξονα αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα σε θετική κατεύθυνση, εάν η περιστροφή έγινε αριστερόστροφα. Λαμβάνοντας το σημείο όπου τα x και y διασταυρώνονται το ένα το άλλο στο γράφημα θα περιστραφεί σε άλλο σημείο, αντιπροσωπεύοντας ένα νέο σημείο χρησιμοποιώντας αμαρτία και συνημίτονο.
Σε έναν πίνακα, σε κάθε γωνία Euler δίνεται μια ξεχωριστή γραμμή. Σύμφωνα με το θεώρημα περιστροφής του Euler, οποιαδήποτε περιστροφή μπορεί να περιγραφεί σε τρεις γωνίες. Έτσι, οι περιγραφές συχνά παρατίθενται σε έναν πίνακα περιστροφής και μπορεί να αντιπροσωπεύονται με αριθμούς – όπως a, b και c – για να διατηρούνται ευθείες.