Η μέθοδος Monte Carlo είναι στην πραγματικότητα μια ευρεία κατηγορία μεθόδων έρευνας και ανάλυσης, με το ενοποιητικό χαρακτηριστικό να είναι η εξάρτηση από τυχαίους αριθμούς για τη διερεύνηση ενός προβλήματος. Η θεμελιώδης προϋπόθεση είναι ότι ενώ ορισμένα πράγματα μπορεί να είναι εντελώς τυχαία και να μην είναι χρήσιμα σε μικρά δείγματα, σε μεγάλα δείγματα γίνονται προβλέψιμα και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων.
Ένα απλό παράδειγμα της μεθόδου Monte Carlo μπορεί να φανεί σε ένα κλασικό πείραμα, χρησιμοποιώντας τυχαίες βολές για τον προσδιορισμό μιας κατά προσέγγιση τιμής του pi. Ας πάρουμε έναν κύκλο και τον κόψουμε σε τέταρτα. Στη συνέχεια, θα πάρουμε ένα από αυτά τα τέταρτα και θα το τοποθετήσουμε σε ένα τετράγωνο. Αν πετάγαμε τυχαία βελάκια σε αυτό το τετράγωνο και εκπτώναμε ό,τι έπεφτε έξω από το τετράγωνο, μερικά θα προσγειώνονταν μέσα στον κύκλο και κάποια θα προσγειώνονταν έξω. Η αναλογία των βελών που προσγειώθηκαν στον κύκλο προς τα βελάκια που προσγειώθηκαν έξω θα ήταν περίπου ανάλογη με το ένα τέταρτο του pi.
Φυσικά, αν ρίχναμε μόνο δύο ή τρία βελάκια, η τυχαιότητα των βολών θα έκανε την αναλογία στην οποία φτάσαμε επίσης αρκετά τυχαία. Αυτό είναι ένα από τα βασικά σημεία της μεθόδου του Μόντε Κάρλο: το μέγεθος του δείγματος πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο ώστε τα αποτελέσματα να αντικατοπτρίζουν τις πραγματικές πιθανότητες και να μην επηρεάζουν δραστικά τα ακραία σημεία. Στην περίπτωση της τυχαίας ρίψης βελών, διαπιστώνουμε ότι κάπου στις χαμηλές χιλιάδες βολές η μέθοδος Monte Carlo αρχίζει να αποδίδει κάτι πολύ κοντά στο pi. Καθώς φτάνουμε στις υψηλές χιλιάδες, η αξία γίνεται όλο και πιο ακριβής.
Φυσικά, το να πετάξεις χιλιάδες βελάκια σε μια πλατεία θα ήταν κάπως δύσκολο. Και το να φροντίσουμε να τα κάνουμε εντελώς τυχαία θα ήταν λίγο πολύ αδύνατο, καθιστώντας αυτό περισσότερο ένα πείραμα σκέψης. Αλλά με έναν υπολογιστή μπορούμε να κάνουμε μια πραγματικά τυχαία «ρίψη» και μπορούμε να κάνουμε γρήγορα χιλιάδες, ή δεκάδες χιλιάδες, ακόμη και εκατομμύρια βολές. Είναι με τους υπολογιστές που η μέθοδος Monte Carlo γίνεται μια πραγματικά βιώσιμη μέθοδος υπολογισμού.
Ένα από τα πρώτα πειράματα σκέψης όπως αυτό είναι γνωστό ως το πρόβλημα της βελόνας του Buffon, το οποίο παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στα τέλη του 18ου αιώνα. Αυτό παρουσιάζει δύο παράλληλες λωρίδες ξύλου, με το ίδιο πλάτος, που στρώνονται στο πάτωμα. Στη συνέχεια, υποθέτει ότι ρίχνουμε μια βελόνα στο πάτωμα και ρωτά ποια είναι η πιθανότητα η βελόνα να προσγειωθεί σε τέτοια γωνία που να διασχίζει μια γραμμή μεταξύ δύο από τις λωρίδες. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του pi σε εντυπωσιακό βαθμό. Πράγματι, ένας Ιταλός μαθηματικός, ο Mario Lazzarini, έκανε πραγματικά αυτό το πείραμα, πετώντας τη βελόνα 3408 φορές, και έφτασε στο 3.1415929 (355/113), μια απάντηση εντυπωσιακά κοντά στην πραγματική τιμή του pi.
Η μέθοδος Monte Carlo έχει χρήσεις πολύ πέρα από τον απλό υπολογισμό του pi, φυσικά. Είναι χρήσιμο σε πολλές περιπτώσεις όπου τα ακριβή αποτελέσματα δεν μπορούν να υπολογιστούν, ως ένα είδος σύντομης απάντησης. Χρησιμοποιήθηκε πιο διάσημα στο Λος Άλαμος κατά τη διάρκεια των πρώιμων πυρηνικών έργων της δεκαετίας του 1940, και αυτοί οι επιστήμονες επινόησαν τον όρο μέθοδο Monte Carlo, για να περιγράψουν την τυχαιότητα της, καθώς ήταν παρόμοια με τα πολλά τυχερά παιχνίδια που παίζονταν στο Μόντε. Κάρλο.
Διάφορες μορφές της μεθόδου του Μόντε Κάρλο μπορούν να βρεθούν στο σχεδιασμό υπολογιστών, τη φυσική χημεία, την πυρηνική και σωματιδιακή φυσική, τις ολογραφικές επιστήμες, τα οικονομικά και πολλούς άλλους κλάδους. Οποιαδήποτε περιοχή όπου η ισχύς που απαιτείται για τον υπολογισμό των ακριβών αποτελεσμάτων, όπως η κίνηση εκατομμυρίων ατόμων, μπορεί ενδεχομένως να βοηθηθεί σε μεγάλο βαθμό με τη χρήση της μεθόδου Monte Carlo.