Μια υπερβολή είναι ο μαθηματικός όρος για μια καμπύλη σε ένα επίπεδο που έχει δύο κλάδους που είναι οι κατοπτρικές εικόνες ο ένας του άλλου. Όπως η παρόμοια παραβολή, η υπερβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη που δεν έχει τέλος. Αυτό σημαίνει ότι θεωρητικά θα συνεχιστεί άπειρα, σε αντίθεση με τον κύκλο ή την έλλειψη.
Αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με τον λογοτεχνικό όρο υπερβολή. Και οι δύο όροι προέρχονται από μια ελληνική λέξη που μεταφράζεται σε “αναποδογυρισμένο” ή “υπερβολικό”. Ωστόσο, η υπερβολή είναι μια λογοτεχνική έννοια που περιγράφει μια δήλωση που είναι πολύ υπερβολική για έμφαση. Εμφανίζεται πιο συχνά στην ποίηση ή στην περιστασιακή ομιλία. Ο όρος υπερβολή θεωρείται γενικά ότι επινοήθηκε από τον Απολλώνιο από την Πέργα στο έργο του με τα κωνικά.
Οι κώνοι έχουν τέσσερις καμπύλες που ονομάζονται κωνικές, οι οποίες περιλαμβάνουν υπερβολές και παραβολές, καθώς και τους κύκλους και τις ελλείψεις. Κάθε τμήμα ορίζεται από την εκκεντρικότητά του ή από το πόσο αποκλίνει από το να είναι κύκλος. Για παράδειγμα, η εκκεντρότητα ενός κύκλου είναι μηδέν. Η εκκεντρότητα μιας υπερβολής είναι μεγαλύτερη από μία και η εκκεντρότητα της παραβολής είναι μικρότερη από μία. Από την άλλη πλευρά, η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μικρότερη από ένα αλλά μεγαλύτερη από μηδέν.
Μια υπερβολή έχει πολλά χαρακτηριστικά. Έχει δύο εστιακά σημεία, τα οποία μπορούν επίσης να ονομαστούν εστίες. Αυτά τα δύο σημεία συνδέονται με μια γραμμή που ονομάζεται εγκάρσιος άξονας και το μέσο της γραμμής αυτής σηματοδοτεί το κέντρο της υπερβολής. Επιπλέον, η ευθεία που είναι κάθετη στον εγκάρσιο άξονα ονομάζεται συζυγής άξονας. Μαζί ο συζευγμένος άξονας και ο εγκάρσιος άξονας αποτελούν τους δύο κύριους άξονες της υπερβολής. Αυτοί οι δύο άξονες είναι σημαντικοί, επειδή μια παραβολή πρέπει να είναι συμμετρική και στις δύο αυτές γραμμές.
Οι υπερβολές έχουν εφαρμογές εκτός του θεωρητικού κόσμου. Πάρτε για παράδειγμα έναν κυματισμό νερού που σχηματίζει ομόκεντρους κύκλους. Καθώς αυτοί οι κύκλοι τέμνονται, σχηματίζουν υπερβολές. Τόσο τα ηχητικά όσο και τα φωτεινά κύματα μιμούνται αυτή τη συμπεριφορά. Το ραντάρ είναι ένας συγκεκριμένος τομέας της τεχνολογίας που χρησιμοποιεί την υπερβολή στην επιστημονική του συλλογιστική.
Οι υπερβολές μπορούν να βρεθούν και στο διάστημα. Οι πλανήτες ή τα φεγγάρια που βρίσκονται σε τροχιά ακολουθούν μια ελλειπτική τροχιακή διαδρομή. Ωστόσο, κάθε αντικείμενο που διέρχεται από ένα ηλιακό σύστημα και δεν περιφέρεται σε τροχιά θα ακολουθήσει μια υπερβολική διαδρομή. Ένας κομήτης είναι ένα παράδειγμα μιας υπερβολικής διαδρομής μέσα στο διάστημα.