Μια γραμμική σχέση εμφανίζεται όταν μια αλλαγή σε μία ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές που έχουν ισχύ XNUMX ή μηδέν επηρεάζει μια εξαρτημένη μεταβλητή. Οι γραμμικές σχέσεις αναπαρίστανται σε γραφήματα ως ευθείες γραμμές. Στη στατιστική, η γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιείται για την προσαρμογή μιας γραμμικής εξίσωσης μέσω ενός συνόλου σημείων δεδομένων που σχετίζονται γραμμικά. Ένα παράδειγμα από τη χρηματοοικονομική θεωρία είναι η χαρακτηριστική γραμμή ασφάλειας, η οποία περιγράφει τη γραμμική σχέση μεταξύ των πλεονάζοντων αποδόσεων ενός περιουσιακού στοιχείου και της αγοράς.
Οι γραμμικές σχέσεις περιγράφονται τυπικά με γραμμικές εξισώσεις γραμμένες με τη μορφή τομής κλίσης y = mx + b. Η ανεξάρτητη μεταβλητή x απεικονίζεται στον οριζόντιο άξονα και η εξαρτημένη μεταβλητή y στον κατακόρυφο άξονα. Η σταθερά m είναι η κλίση ή η κλίση της ευθείας. Η σταθερά b ονομάζεται τομή y και είναι η τιμή του y όταν η ευθεία διασχίζει τον κατακόρυφο άξονα.
Εάν ένα σύνολο σημείων δεδομένων έχει μια απόλυτα γραμμική σχέση, το διάγραμμα τους θα σχηματίσει μια ευθεία γραμμή. Αυτό συμβαίνει σπάνια με δεδομένα πραγματικού κόσμου, αν και μπορεί να υπάρχει ισχυρή γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Άλλες φορές, τα δεδομένα είναι ασθενώς γραμμικά, αλλά μια γραμμική εξίσωση εξακολουθεί να είναι ενδιαφέρουσα, καθώς είναι εύκολο να εργαστεί κανείς και να μοντελοποιήσει. Και στις δύο περιπτώσεις, τεχνικές γραμμικής παλινδρόμησης, όπως η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή της σχέσης.
Η μελέτη της γραμμικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών μπορεί να είναι χρήσιμη κατά την πρόβλεψη μελλοντικών συμπεριφορών. Για παράδειγμα, η γραμμική παλινδρόμηση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σε δεδομένα που αφορούν τους μισθούς τα τελευταία δέκα χρόνια, λαμβάνοντας υπόψη τους μισθούς ως συνάρτηση του χρόνου. Οι αναμενόμενοι μισθοί για ένα συγκεκριμένο έτος μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τη γραμμική εξίσωση και αυτές οι πληροφορίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προϋπολογισμό για αποταμιεύσεις και συνταξιοδότηση.
Στο μοντέλο τιμολόγησης κεφαλαιουχικών περιουσιακών στοιχείων, η γραμμή χαρακτηριστικών ασφαλείας προκύπτει από γραμμική παλινδρόμηση στα ιστορικά δεδομένα ενός μεμονωμένου περιουσιακού στοιχείου και περιγράφει τη γραμμική σχέση μεταξύ συστηματικού και μη συστηματικού κινδύνου. Η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς και η εξαρτημένη μεταβλητή είναι η υπερβάλλουσα απόδοση του περιουσιακού στοιχείου. Η τομή y που ονομάζεται άλφα μετρά την απόδοση μιας επένδυσης δεδομένου του κινδύνου της. Εάν το άλφα είναι θετικό, η επένδυση έχει υπεραποδόσει, εάν είναι αρνητική έχει υποαποδώσει, και αν μηδενίζεται, οι αποδόσεις της είναι επαρκείς δεδομένων των κινδύνων της επένδυσης.
Η κλίση της χαρακτηριστικής γραμμής ονομάζεται βήτα και περιγράφει την ευαισθησία του περιουσιακού στοιχείου στις αλλαγές στην αγορά. Μια θετική beta σημαίνει ότι η τιμή του στοιχείου κινείται ανάλογα με την αγορά. Εάν η beta είναι μεταξύ μηδέν και ενός, τότε η τιμή του περιουσιακού στοιχείου θα κυμαίνεται όσο και η αγορά και μπορεί να μειώσει τη μεταβλητότητα ενός χαρτοφυλακίου. Εάν το beta είναι μεγαλύτερο από ένα, τότε το περιουσιακό στοιχείο θα έχει καλύτερη απόδοση από την αγορά εάν η αγορά αυξηθεί, αλλά θα έχει χαμηλότερη απόδοση από την αγορά εάν η αγορά μειωθεί, επιτρέποντας έτσι υψηλότερα κέρδη ή ζημίες.