Πολλές εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν με επέκταση των λογαρίθμων. Ο όρος «διαστελλόμενοι λογάριθμοι» δεν αναφέρεται σε λογάριθμους που επεκτείνονται αλλά μάλλον σε μια διαδικασία με την οποία μια μαθηματική έκφραση αντικαθίσταται από μια άλλη σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες. Υπάρχουν τρεις τέτοιοι κανόνες. Καθένας από αυτούς αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη ιδιότητα εκθετών, επειδή η λήψη ενός λογάριθμου είναι το λειτουργικό αντίστροφο της εκθέσεως: log3(9) = 2 επειδή 32= 9.
Ο πιο συνηθισμένος κανόνας για την επέκταση των λογαρίθμων χρησιμοποιείται για τον διαχωρισμό προϊόντων. Ο λογάριθμος ενός γινομένου είναι το άθροισμα των αντίστοιχων λογαρίθμων: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Αυτή η εξίσωση προέρχεται από τον τύπο ax * ay = ax+y. Μπορεί να επεκταθεί σε πολλούς παράγοντες: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Η αύξηση ενός αριθμού σε αρνητική ισχύ ισοδυναμεί με την αύξηση της αμοιβαίας του σε θετική ισχύ: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Η ισοδύναμη ιδιότητα για τους λογάριθμους είναι ότι loga(1/x) = -loga(x). Όταν αυτή η ιδιότητα συνδυάζεται με τον κανόνα του γινομένου, παρέχει έναν νόμο για τη λήψη του λογαρίθμου μιας αναλογίας: λογαριθμός (x/y) = λογότυπος (x) – λογάριθμος (y).
Ο τελικός κανόνας για την επέκταση των λογαρίθμων σχετίζεται με τον λογάριθμο ενός αριθμού που ανυψώνεται σε μια ισχύ. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του προϊόντος, βρίσκουμε ότι λογότυπο (x2) = λογότυπο (x) + λογότυπο (x) = 2*loga(x). Ομοίως, loga(x3) = logo(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). Γενικά, loga(xn) = n*loga(x), ακόμα κι αν το n δεν είναι ακέραιος αριθμός.
Αυτοί οι κανόνες μπορούν να συνδυαστούν για να επεκτείνουν εκφράσεις καταγραφής πιο σύνθετου χαρακτήρα. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τον δεύτερο κανόνα στο loga(x2y/z), παίρνοντας την έκφραση loga(x2y) – loga(z). Στη συνέχεια, ο πρώτος κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί στον πρώτο όρο, δίνοντας loga(x2) + loga(y) – loga(z). Τέλος, η εφαρμογή του τρίτου κανόνα οδηγεί στην έκφραση 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Η επέκταση των λογαρίθμων επιτρέπει την γρήγορη επίλυση πολλών εξισώσεων. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να ανοίξει έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου με $400 δολάρια ΗΠΑ. Εάν ο λογαριασμός πληρώνει ετήσιο επιτόκιο 2 τοις εκατό σε μηνιαία βάση, ο αριθμός των μηνών που απαιτούνται για να διπλασιαστεί η αξία του λογαριασμού μπορεί να βρεθεί με την εξίσωση 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Διαιρώντας με το 400 αποδόσεις (1 + 0.02/ 12)m = 2. Λαμβάνοντας τον λογάριθμο βάσης-10 και των δύο πλευρών δημιουργείται η εξίσωση log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Αυτή η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα ισχύος σε m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή για την εύρεση των λογαρίθμων προκύπτει m*(0.00072322) = 0.30102. Διαπιστώνει κανείς όταν λύνει το m ότι θα χρειαστούν 417 μήνες για να διπλασιαστεί η αξία του λογαριασμού εάν δεν κατατεθούν επιπλέον χρήματα.