Η συνάρτηση δέλτα του Kronecker, που συμβολίζεται δi,j, είναι μια δυαδική συνάρτηση που ισούται με 1 εάν i και j είναι ίσα και ίση με 0 διαφορετικά. Αν και τεχνικά είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, στην πράξη χρησιμοποιείται ως συμβολογραφική συντομογραφία, επιτρέποντας σε πολύπλοκες μαθηματικές προτάσεις να γράφονται συμπαγή. Μαθηματικοί, φυσικοί και μηχανικοί που εργάζονται στη γραμμική άλγεβρα, την ανάλυση τανυστών και την επεξεργασία ψηφιακών σημάτων χρησιμοποιούν τη συνάρτηση δέλτα του Kronecker ως πρόσφορο για να μεταφέρουν σε μια ενιαία εξίσωση αυτό που διαφορετικά θα χρειαζόταν πολλές γραμμές κειμένου.
Αυτή η συνάρτηση χρησιμοποιείται συχνότερα για την απλοποίηση της γραφής εξισώσεων που περιλαμβάνουν σημειογραφία σίγμα, η οποία είναι από μόνη της μια συνοπτική μέθοδος αναφοράς σε πολύπλοκα αθροίσματα. Για παράδειγμα, εάν μια εταιρεία έχει 30 υπαλλήλους {e1, e2 … e30} και κάθε εργαζόμενος εργάζεται διαφορετικό αριθμό ωρών {h1, h2 … h30} με διαφορετική ωριαία χρέωση {r1, r2 … r30}, τα συνολικά χρήματα που καταβάλλονται σε αυτούς τους υπαλλήλους για την εργασία τους ισούται με e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Οι μαθηματικοί μπορούν να το γράψουν συνοπτικά ως ∑i ei*hi*ri.
Όταν περιγράφουν φυσικά συστήματα που περιλαμβάνουν πολλαπλές διαστάσεις, οι φυσικοί πρέπει συχνά να χρησιμοποιούν διπλές αθροίσεις. Οι πρακτικές επιστημονικές εφαρμογές είναι πολύ περίπλοκες, αλλά ένα συγκεκριμένο παράδειγμα δείχνει πώς η συνάρτηση δέλτα του Kronecker μπορεί να απλοποιήσει εκφράσεις σε αυτές τις περιπτώσεις.
Υπάρχουν τρία καταστήματα ρούχων σε ένα εμπορικό κέντρο, το καθένα που πωλεί διαφορετική μάρκα. Διατίθενται συνολικά 20 στυλ πουκάμισων: οκτώ προσφέρονται από το κατάστημα 1, επτά προσφέρονται από το κατάστημα 2 και πέντε που προσφέρονται στο κατάστημα 3. Διατίθενται δώδεκα στυλ παντελονιών: πέντε στο κατάστημα 1, τρία στο κατάστημα 2 και τέσσερα στο κατάστημα 3. Μπορεί κανείς να αγοράσει 240 πιθανά ρούχα, γιατί υπάρχουν 20 επιλογές για το πουκάμισο και 12 επιλογές για το παντελόνι. Κάθε συνδυασμός αποδίδει διαφορετικό ντύσιμο.
Δεν είναι τόσο απλό να υπολογίσετε τον αριθμό των τρόπων για να επιλέξετε μια στολή στην οποία το πουκάμισο και το παντελόνι είναι από διαφορετικά καταστήματα. Μπορεί κανείς να επιλέξει ένα πουκάμισο από το κατάστημα 1 και ένα παντελόνι από το κατάστημα 2 με τρόπους 8*3. Υπάρχουν 8*4 τρόποι για να επιλέξετε ένα πουκάμισο από το κατάστημα 1 και ένα παντελόνι από το κατάστημα 3. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, διαπιστώνετε ότι ο συνολικός αριθμός ρούχων χρησιμοποιώντας είδη από διαφορετικά καταστήματα είναι 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει τη διαθεσιμότητα των πουκάμισων και των παντελονιών ως δύο ακολουθίες, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} και {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Τότε η συνάρτηση δέλτα του Kronecker επιτρέπει αυτό το άθροισμα να γραφτεί απλά ως ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Ο όρος (1- δi,j) εξαλείφει εκείνα τα ρούχα που περιλαμβάνουν πουκάμισο και παντελόνι που αγοράστηκαν στο ίδιο κατάστημα, επειδή στην περίπτωση αυτή i = j, άρα δi,j = 1 και (1- δi,j) = 0. Πολλαπλασιάζοντας τον όρο με 0 το αφαιρεί από το άθροισμα.
Η συνάρτηση δέλτα Kronecker χρησιμοποιείται πιο συχνά κατά την ανάλυση πολυδιάστατων χώρων, αλλά μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά τη μελέτη μονοδιάστατων χώρων, όπως η πραγματική αριθμητική γραμμή. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται συχνά μια παραλλαγή μιας εισόδου: δ(n) = 1 εάν n = 0; δ(n) = 0 διαφορετικά. Για να δούμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση δέλτα του Kronecker για την απλοποίηση σύνθετων μαθηματικών δηλώσεων σχετικά με τους πραγματικούς αριθμούς, θα μπορούσε κανείς να εξετάσει τις ακόλουθες δύο συναρτήσεις των οποίων οι είσοδοι είναι απλοποιημένα κλάσματα:
f(a/b) = a εάν a =b+1, f(a/b) = -b εάν b=a+1, και f(a/b) = 0 διαφορετικά.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Οι συναρτήσεις f και g είναι πανομοιότυπες, αλλά ο ορισμός για το g είναι πιο συμπαγής και δεν απαιτεί αγγλικά, επομένως μπορεί να γίνει κατανοητός από οποιονδήποτε μαθηματικό στον κόσμο.
Όπως φαίνεται από αυτά τα παραδείγματα, οι είσοδοι της συνάρτησης δέλτα του Kronecker είναι τυπικά ακέραιοι αριθμοί που συνδέονται με κάποια ακολουθία τιμών. Η κατανομή δέλτα Dirac είναι ένα συνεχές ανάλογο της συνάρτησης δέλτα Kronecker που χρησιμοποιείται κατά την ολοκλήρωση συναρτήσεων αντί για την άθροιση ακολουθιών.