Ως άρτια συνάρτηση ορίζεται οποιαδήποτε συνάρτηση στην οποία η πρόταση f(x) = f(-x) ισχύει για όλες τις πραγματικές τιμές του x. Ισοδύναμα, άρτια συνάρτηση είναι κάθε συνάρτηση που ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του x και έχει ανακλαστική συμμετρία ως προς τον άξονα y. Η περίεργη ή ομοιόμορφη συνάρτηση χρησιμοποιείται κυρίως στη δημιουργία γραφικών συναρτήσεων.
Μια συνάρτηση είναι μια σχέση που συνδέει τα στοιχεία από ένα σύνολο αριθμών — τον τομέα, με τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου — το εύρος. Η σχέση ορίζεται γενικά με όρους μαθηματικής εξίσωσης, όπου εάν ένας αριθμός από τον τομέα εισαχθεί στην εξίσωση, δίνεται ως απάντηση μια μοναδική τιμή εντός του εύρους. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση f(x) = 3×2 + 1, όταν x = 2 είναι η τιμή που επιλέγεται από τον τομέα, f(x) = f(2) = 13. Εάν ο τομέας και το εύρος είναι και τα δύο από το σύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί σχεδιάζοντας κάθε σημείο (x, f(x)), όπου η συντεταγμένη x είναι από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η συντεταγμένη y είναι η τιμή που ταιριάζει από το εύρος της συνάρτησης.
Σχετική με την έννοια της άρτιας συνάρτησης είναι η περιττή συνάρτηση. Περιττή συνάρτηση είναι αυτή στην οποία η πρόταση f(x) = -f (-x) για όλες τις πραγματικές τιμές του x. Όταν σχηματίζονται γραφικά, οι περιττές συναρτήσεις έχουν περιστροφική συμμετρία γύρω από την αρχή.
Αν και η πλειονότητα των συναρτήσεων δεν είναι ούτε περιττές ούτε άρτιες, εξακολουθεί να υπάρχει ένας άπειρος αριθμός ζυγών συναρτήσεων. Η σταθερή συνάρτηση, f(x) = c, στην οποία η συνάρτηση έχει μόνο μία τιμή ανεξάρτητα από το ποια τιμή από τον τομέα επιλέγεται, είναι άρτια συνάρτηση. Οι συναρτήσεις ισχύος, f(x) = xn, είναι άρτιες εφόσον το n είναι οποιοσδήποτε ζυγός ακέραιος. Μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, το συνημίτονο και η τέμνουσα είναι και οι δύο άρτιες συναρτήσεις, όπως και οι αντίστοιχες υπερβολικές συναρτήσεις f(x) = cosh(x) = (ex + ex)/2 και f(x) = sech(x) = 2/ ( πρώην + πρώην).
Μπορούν να δημιουργηθούν νέες ζυγές συναρτήσεις από άλλες συναρτήσεις που είναι γνωστό ότι είναι άρτιες συναρτήσεις. Η προσθήκη ή ο πολλαπλασιασμός οποιωνδήποτε δύο ζυγών συναρτήσεων θα δημιουργήσει μια νέα άρτια συνάρτηση. Εάν μια άρτια συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, η συνάρτηση που προκύπτει θα είναι άρτια. Οι ζυγές συναρτήσεις μπορούν επίσης να δημιουργηθούν από περιττές συναρτήσεις. Αν δύο συναρτήσεις που είναι γνωστό ότι είναι περιττές, όπως f(x) = x και g(x) = sin(x), πολλαπλασιαστούν μαζί, η συνάρτηση που προκύπτει, όπως h(x) = x sin(x) θα είναι άρτια .
Μπορούν επίσης να δημιουργηθούν νέες ζυγές συναρτήσεις με σύνθεση. Μια συνάρτηση σύνθεσης, όπως h(x) = g(f(x)), είναι αυτή στην οποία η έξοδος μιας συνάρτησης — σε αυτήν την περίπτωση f(x) — χρησιμοποιείται ως είσοδος για τη δεύτερη συνάρτηση — g(x ). Εάν η πιο εσωτερική συνάρτηση είναι άρτια, η συνάρτηση που προκύπτει θα είναι επίσης άρτια ανεξάρτητα από το αν η εξωτερική συνάρτηση είναι άρτια, περιττή ή καμία. Η εκθετική συνάρτηση g(x) = ex, για παράδειγμα, δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια, αλλά επειδή το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, έτσι είναι και η νέα συνάρτηση h(x) = ecos(x).
Ένα μαθηματικό αποτέλεσμα υποστηρίζει ότι κάθε συνάρτηση που ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Εάν η f(x) είναι οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, είναι δυνατό να κατασκευαστούν δύο νέες συναρτήσεις, g(x) = (f(x) + f(-x))/2 και h(x) = (f (x) – f(-x))/2. Έπεται ότι g(-x) = (f(-x) + f(x))/2 = (f(x) + f(-x))/2 = g(x) και επομένως g(x) είναι μια ομοιόμορφη λειτουργία. Ομοίως, h(-x) = (f(-x)-f(x))/2 = – (f(x)-f(-x))/2 = -h(x) άρα h(x) είναι εξ ορισμού μια περιττή συνάρτηση. Αν οι συναρτήσεις προστεθούν μαζί, g(x) + h (x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2 = 2 f( x) / 2 = f(x). Επομένως κάθε συνάρτηση f(x) είναι το άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.