Τα δικαιώματα προαίρεσης είναι ένα χρηματοοικονομικό μέσο που δίνει στον κάτοχο το δικαίωμα να αγοράσει ή να πουλήσει μια υποκείμενη μετοχή ή ένα εμπόρευμα σε μια μελλοντική χρονική στιγμή, σε μια συμφωνημένη τιμή. Το μοντέλο Black-Scholes, για το οποίο οι Fischer Black, Myron Scholes και Robert Merton βραβεύτηκαν με το Νόμπελ Οικονομικών, είναι ένα εργαλείο για την τιμολόγηση των μετοχικών δικαιωμάτων. Πριν από την ανάπτυξή του δεν υπήρχε τυπικός τρόπος για τις επιλογές τιμών. Με μια πολύ πραγματική έννοια, το μοντέλο Black-Scholes σηματοδοτεί την αρχή της σύγχρονης εποχής των χρηματοοικονομικών παραγώγων.
Υπάρχουν πολλές υποθέσεις στις οποίες βασίζεται το μοντέλο Black-Scholes. Το πιο σημαντικό είναι ότι η μεταβλητότητα, ένα μέτρο του πόσο αναμένεται να κινηθεί μια μετοχή βραχυπρόθεσμα, είναι σταθερή με την πάροδο του χρόνου. Το μοντέλο Black-Scholes υποθέτει επίσης ότι οι μετοχές κινούνται με έναν τρόπο που αναφέρεται ως τυχαίο περίπατο. ανά πάσα στιγμή, είναι τόσο πιθανό να ανέβουν όσο και να κατέβουν. Συνδυάζοντας αυτές τις υποθέσεις με την ιδέα ότι το κόστος ενός δικαιώματος δεν πρέπει να παρέχει άμεσο κέρδος ούτε στον πωλητή ούτε στον αγοραστή, μπορεί να διαμορφωθεί ένα σύνολο εξισώσεων για τον υπολογισμό της τιμής οποιουδήποτε δικαιώματος.
Το μοντέλο Black-Scholes λαμβάνει ως εισροές τις τρέχουσες τιμές, το χρονικό διάστημα μέχρι να λήξει το δικαίωμα επιλογής χωρίς αξία, μια εκτίμηση της μελλοντικής αστάθειας γνωστή ως σιωπηρή μεταβλητότητα και το λεγόμενο ποσοστό απόδοσης χωρίς κίνδυνο, που γενικά ορίζεται ως το βραχυπρόθεσμο επιτόκιο Γραμμάτια του αμερικανικού δημοσίου. Το μοντέλο λειτουργεί και αντίστροφα: αντί να υπολογιστεί μια τιμή, μπορεί να υπολογιστεί μια τεκμαρτή μεταβλητότητα για μια δεδομένη τιμή.
Οι έμποροι επιλογών συχνά αναφέρονται στους «Έλληνες», ιδιαίτερα στους Delta, Vega και Theta. Αυτά είναι μαθηματικά χαρακτηριστικά του μοντέλου Black-Scholes που πήρε το όνομά του από τα ελληνικά γράμματα που χρησιμοποιούνται για να τα αναπαραστήσουν στις εξισώσεις. Η Delta μετρά πόσο θα κινηθεί μια τιμή επιλογής σε σχέση με την υποκείμενη, το Vega είναι η ευαισθησία της τιμής του δικαιώματος στις αλλαγές στην τεκμαρτή μεταβλητότητα και η Θήτα είναι η αναμενόμενη αλλαγή στην τιμή του δικαιώματος λόγω της πάροδο του χρόνου.
Υπάρχουν γνωστά προβλήματα με το μοντέλο Black-Scholes. Οι αγορές συχνά κινούνται με τρόπους που δεν συνάδουν με την υπόθεση του τυχαίου περιπάτου και η αστάθεια δεν είναι, στην πραγματικότητα, σταθερή. Μια παραλλαγή Black-Scholes γνωστή ως ARCH, Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, αναπτύχθηκε για να αντιμετωπίσει αυτούς τους περιορισμούς. Η βασική προσαρμογή είναι η αντικατάσταση της σταθερής μεταβλητότητας με στοχαστική ή τυχαία μεταβλητότητα. Μετά το ARCH ήρθε μια έκρηξη διαφορετικών μοντέλων. GARCH, E-GARCH, N-GARCH, H-GARCH, κ.λπ., όλα ενσωματώνοντας όλο και πιο περίπλοκα μοντέλα μεταβλητότητας. Στην καθημερινή πρακτική, ωστόσο, το κλασικό μοντέλο Black-Scholes παραμένει κυρίαρχο στους επενδυτές επιλογών.