Η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων, ή FEA, είναι ένα εργαλείο που βασίζεται σε υπολογιστή για την προσέγγιση της λύσης σε ένα κατά τα άλλα άλυτο πρόβλημα. Χρησιμοποιείται συνήθως στη δομική μηχανική, αν και χρησιμοποιείται επίσης σε άλλα προβλήματα όπως η μηχανική ρευστών και η ροή θερμότητας. Τα περισσότερα μαθηματικά προβλήματα για πρακτικές εφαρμογές είναι, στην πραγματικότητα, πολύ περίπλοκα για να επιλυθούν αναλυτικά, αν και στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν απαιτούν τέλειες λύσεις. Η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων είναι μια αριθμητική —σε αντίθεση με μια αναλυτική— τεχνική για τη λήψη αποδεκτών ακριβών λύσεων. Λειτουργεί σπάζοντας ένα περίπλοκο πρόβλημα σε πολλά απλούστερα.
Οι αναλυτικές μέθοδοι περιλαμβάνουν την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος για να δώσουν μια τέλεια, συνεχή λύση. Με άλλα λόγια, η λύση είναι μια συνάρτηση ως προς κάποια μεταβλητή, παρά μια αριθμητική προσέγγιση. Δεν υπάρχει βαθμός εκτίμησης ή σφάλματος στις αναλυτικές λύσεις μιας δεδομένης εξίσωσης. Ωστόσο, συχνά δεν υπάρχουν γνωστές αναλυτικές λύσεις σε συνθέσεις που μοντελοποιούν προβλήματα του πραγματικού κόσμου. Αυτά απαιτούν αριθμητικές μεθόδους, από τις οποίες η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων είναι ένα παράδειγμα, για να ληφθεί μια κατά προσέγγιση λύση.
Η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων βασίζεται στη διάσπαση ενός περίπλοκου προβλήματος σε έναν μεγάλο αριθμό λιγότερο πολύπλοκων προβλημάτων. Όταν η λύση σε ένα πρόβλημα παρουσιάζει πολύ περίπλοκη συμπεριφορά, μερικές φορές είναι αποδεκτό να εφαρμόζονται απλοποιήσεις. Συχνά, ωστόσο, μια ευρεία απλοποίηση εισάγει πάρα πολλά σφάλματα για να είναι χρήσιμη. Αυτό συμβαίνει όταν η διάσπαση του προβλήματος σε πολλά ξεχωριστά προβλήματα μπορεί να βοηθήσει. Απλοποιημένες λύσεις σε κάθε στοιχείο ενός προβλήματος μπορούν να ενσωματωθούν μαζί για να δώσουν μια γενική λύση με υψηλή ακρίβεια.
Στην ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων, το πεδίο ενός προβλήματος χωρίζεται σε πολλές μικρότερες ζώνες που ονομάζονται στοιχεία. Το συλλογικό σώμα των στοιχείων ονομάζεται πλέγμα. Η διαδικασία ολοκλήρωσης ή άθροισης πολλών διαφορετικών στοιχείων λειτουργεί λόγω του τρόπου με τον οποίο τα στοιχεία αλληλεπιδρούν στα όριά τους. Όταν γίνουν κατανοητές οι οριακές αλληλεπιδράσεις των στοιχείων, ένας υπολογιστής μπορεί να επεκτείνει την κατά προσέγγιση λύση από το ένα στοιχείο στο άλλο. Στο τέλος, ο υπολογιστής θα έχει «χτίσει» μια κατά προσέγγιση λύση που είναι πολύ κοντά στη συμπεριφορά του πραγματικού κόσμου.
Ένα πρόβλημα που συνήθως επιλύεται με την ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων είναι η κατανομή των τάσεων μέσα σε ένα στερεό κομμάτι μετάλλου. Όταν το μέταλλο, ή οποιοδήποτε συγκρίσιμο υλικό, υπόκειται σε δυνάμεις, κάθε μέρος του αντικειμένου έχει μια συγκεκριμένη πίεση πάνω του. Ακόμα κι αν οι ασκούμενες δυνάμεις είναι γνωστές, τα αντικείμενα με ακανόνιστο σχήμα είναι συνήθως πολύ περίπλοκα για να γνωρίζουμε την ακριβή κατανομή των εσωτερικών τάσεων. Σε αυτό το σημείο, η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό μιας κατά προσέγγιση λύσης – στοιχείο προς στοιχείο – σε αυτό το πρόβλημα. Το λογισμικό οπτικοποίησης μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για να βάλει αυτή τη συλλογή πληροφοριών σε μια διαισθητική και συνεκτική εικόνα.