Το θεώρημα του Bayes, που μερικές φορές ονομάζεται κανόνας του Bayes ή η αρχή της αντίστροφης πιθανότητας, είναι ένα μαθηματικό θεώρημα που προκύπτει πολύ γρήγορα από τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων. Στην πράξη, χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της ενημερωμένης πιθανότητας κάποιου φαινομένου στόχου ή υπόθεσης Η δεδομένου των νέων εμπειρικών δεδομένων X και ορισμένων βασικών πληροφοριών ή προηγούμενης πιθανότητας.
Η προηγούμενη πιθανότητα κάποιας υπόθεσης συνήθως αντιπροσωπεύεται από κάποιο ποσοστό μεταξύ 0% και 100%, ή κάποιο αριθμό μεταξύ 0 και 1. Αυτή η πιθανότητα συχνά ονομάζεται βαθμός εμπιστοσύνης και προορίζεται να διαφέρει από παρατηρητή σε παρατηρητή, καθώς δεν είναι όλοι οι παρατηρητές είχαν την ίδια εμπειρία και επομένως δεν μπορούν να κάνουν ισοδύναμες εκτιμήσεις πιθανοτήτων για οποιαδήποτε δεδομένη υπόθεση. Η εφαρμογή του θεωρήματος του Bayes σε ένα επιστημονικό πλαίσιο ονομάζεται Bayesian συμπέρασμα, το οποίο είναι μια ποσοτική τυποποίηση της επιστημονικής μεθόδου. Επιτρέπει τη βέλτιστη αναθεώρηση των θεωρητικών κατανομών πιθανοτήτων δεδομένων πειραματικών αποτελεσμάτων.
Το θεώρημα του Bayes στο πλαίσιο των επιστημονικών συμπερασμάτων λέει τα εξής: «Η νέα πιθανότητα κάποιας υπόθεσης H να είναι αληθής (που ονομάζεται μεταγενέστερη πιθανότητα) δεδομένης νέας απόδειξης X είναι ίση με την πιθανότητα ότι θα παρατηρούσαμε αυτή την απόδειξη X δεδομένου ότι το H είναι πραγματικά αληθές (ονομάζεται υπό όρους πιθανότητα ή πιθανότητα), επί την προηγούμενη πιθανότητα να είναι αληθές το H, όλα διαιρούμενα με την πιθανότητα του X.
Μια κοινή επαναδιατύπωση των παραπάνω όσον αφορά τον τρόπο με τον οποίο ένα αποτέλεσμα της εξέτασης συμβάλλει στην πιθανότητα ότι ένας συγκεκριμένος ασθενής έχει καρκίνο μπορεί να παρουσιαστεί ως εξής:
p(θετικός|καρκίνος)*p(καρκίνος)
_______________________________________________
p(θετικός|καρκίνος)*p(καρκίνος) + p(θετικός|~καρκίνος)*p(~καρκίνος)
Η κατακόρυφη γραμμή σημαίνει “δόθηκε”. Η πιθανότητα ο ασθενής να έχει καρκίνο μετά από ένα θετικό αποτέλεσμα σε ένα συγκεκριμένο τεστ καρκίνου είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα θετικού αποτελέσματος δεδομένου καρκίνου (που προέρχεται από προηγούμενα αποτελέσματα) επί την προηγούμενη πιθανότητα να έχει καρκίνο οποιοδήποτε δεδομένο άτομο (σχετικά χαμηλή) όλα διαιρούμενα με αυτήν τον ίδιο αριθμό, συν την πιθανότητα ενός ψευδώς θετικού πολλαπλασιασμού της προηγούμενης πιθανότητας να μην έχετε καρκίνο.
Ακούγεται περίπλοκο, αλλά η παραπάνω εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της ενημερωμένης πιθανότητας οποιασδήποτε υπόθεσης δεδομένου οποιουδήποτε μετρήσιμου πειραματικού αποτελέσματος.