Ένας φανταστικός αριθμός είναι ένας μαθηματικός όρος για έναν αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Οι φανταστικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται με το γράμμα i, που αντιπροσωπεύει την τετραγωνική ρίζα του -1. Αυτός ο ορισμός μπορεί να αναπαρασταθεί από την εξίσωση: i2 = -1. Οποιοσδήποτε φανταστικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας το i. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του -4 είναι 2i.
Όταν οι φανταστικοί αριθμοί ορίστηκαν για πρώτη φορά από τον Rafael Bombelli το 1572, οι μαθηματικοί πίστευαν ότι δεν υπήρχαν στην πραγματικότητα, εξ ου και το όνομά τους. Ο Decartes επινόησε τον όρο imaginary σε σχέση με αυτούς τους αριθμούς στο βιβλίο του La Geometrie το 1637. Ωστόσο, οι φανταστικοί αριθμοί είναι τόσο πραγματικοί όσο και άλλοι αριθμοί και σταδιακά έγιναν αποδεκτοί από τη μαθηματική κοινότητα και τον κόσμο γενικότερα. Το έργο των μαθηματικών Leonhard Euler και Carl Friedrich Gauss τον 18ο και 19ο αιώνα έπαιξε καθοριστικό ρόλο σε αυτή την αλλαγή.
Ενώ οι φανταστικοί αριθμοί δεν έχουν νόημα στον «πραγματικό κόσμο» των περισσότερων ατόμων, είναι απαραίτητοι σε τομείς όπως η κβαντομηχανική, η ηλεκτρική μηχανική, ο προγραμματισμός υπολογιστών, η επεξεργασία σήματος και η χαρτογραφία. Για προοπτική, σκεφτείτε ότι και οι αρνητικοί αριθμοί θεωρούνταν κάποτε πλασματικοί και ότι έννοιες όπως κλάσματα και τετραγωνικές ρίζες μπορεί να θεωρούνται άνευ σημασίας για ένα άτομο που δεν τους χρειάζεται στην καθημερινή ζωή, αν και είναι αρκετά πραγματικές για τους άλλους.
Για την καλύτερη κατανόηση των φανταστικών αριθμών, η γεωμετρία μπορεί να είναι χρήσιμη. Φανταστείτε μια τυπική αριθμητική γραμμή: το μηδέν βρίσκεται στο κέντρο, οι θετικοί αριθμοί βρίσκονται στα δεξιά του μηδενός και οι αρνητικοί αριθμοί βρίσκονται στα αριστερά. Στο σημείο μηδέν, οραματιστείτε μια άλλη γραμμή κάθετη στην πρώτη, να εκτείνεται πάνω-κάτω και όχι δεξιά και αριστερά. Αυτός είναι ο άξονας των φανταστικών αριθμών, γνωστός και ως άξονας y στη γεωμετρία, ενώ η «κανονική αριθμητική γραμμή» είναι ο άξονας x. Οι θετικοί φανταστικοί αριθμοί εκτείνονται προς τα πάνω από το σημείο μηδέν και οι αρνητικοί φανταστικοί αριθμοί εκτείνονται προς τα κάτω. Το μηδέν είναι ο μόνος αριθμός που θεωρείται πραγματικός και φανταστικός.