Σχεδόν όλα τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να εκφραστούν με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, το κλάσμα 2/6 είναι ισοδύναμο με 5/15 και -4/-12. Μια κανονική μορφή είναι ένα συγκεκριμένο σχήμα που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να περιγράψουν αντικείμενα από μια δεδομένη τάξη με κωδικοποιημένο, μοναδικό τρόπο. Κάθε αντικείμενο στην κλάση έχει μια ενιαία κανονική αναπαράσταση που ταιριάζει με το πρότυπο της κανονικής μορφής.
Για τους ρητούς αριθμούς, η κανονική μορφή είναι a/b, όπου τα a και b δεν έχουν κοινούς παράγοντες και το b είναι θετικό. Ένα τέτοιο κλάσμα συνήθως περιγράφεται ως «με τους χαμηλότερους όρους». Όταν τεθεί σε κανονική μορφή, το 2/6 γίνεται 1/3. Αν δύο κλάσματα είναι ίσα σε αξία, οι κανονικές παραστάσεις τους είναι ίδιες.
Οι κανονικές μορφές δεν είναι πάντα ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να δηλώσετε ένα μαθηματικό αντικείμενο. Οι δισδιάστατες γραμμικές εξισώσεις έχουν την κανονική μορφή Ax + By + C = 0, όπου το C είναι είτε 1 είτε 0. Ωστόσο, οι μαθηματικοί συχνά χρησιμοποιούν τη μορφή κλίσης-τομής — y = mx + b — όταν κάνουν βασικούς υπολογισμούς. Η μορφή κλίσης-τομής δεν είναι κανονική. δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη γραμμή x = 4.
Οι μαθηματικοί βρίσκουν τις κανονικές μορφές ιδιαίτερα χρήσιμες όταν αναλύουν αφηρημένα συστήματα, στα οποία δύο αντικείμενα μπορεί να φαίνονται σημαντικά διαφορετικά αλλά είναι μαθηματικά ισοδύναμα. Το σύνολο όλων των κλειστών μονοπατιών σε ένα ντόνατ έχει την ίδια μαθηματική δομή με το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (a, b) ακεραίων αριθμών. Ένας μαθηματικός μπορεί να δει αυτή τη σύνδεση εύκολα εάν χρησιμοποιεί κανονικές μορφές για να περιγράψει και τα δύο σύνολα. Τα δύο σύνολα έχουν την ίδια κανονική αναπαράσταση, άρα είναι ισοδύναμα. Για να απαντήσει σε μια τοπολογική ερώτηση σχετικά με τις καμπύλες σε ένα ντόνατ, ένας μαθηματικός μπορεί να βρει ευκολότερο να απαντήσει σε μια ισοδύναμη, αλγεβρική ερώτηση σχετικά με διατεταγμένα ζεύγη ακεραίων αριθμών.
Πολλά πεδία μελέτης χρησιμοποιούν πίνακες για την περιγραφή συστημάτων. Ένας πίνακας ορίζεται από τις μεμονωμένες εγγραφές του, αλλά αυτές οι εγγραφές συχνά δεν μεταφέρουν τον χαρακτήρα του πίνακα. Οι κανονικές μορφές βοηθούν τους μαθηματικούς να γνωρίζουν πότε δύο πίνακες σχετίζονται με κάποιον τρόπο που διαφορετικά μπορεί να μην είναι προφανής.
Οι άλγεβρες Boole, η δομή που χρησιμοποιούν οι λογικοί όταν περιγράφουν προτάσεις, έχουν δύο κανονικές μορφές: διαζευκτική κανονική μορφή και συνδετική κανονική μορφή. Αυτά είναι αλγεβρικά ισοδύναμα με την παραγοντοποίηση ή επέκταση των πολυωνύμων αντίστοιχα. Ένα σύντομο παράδειγμα επεξηγεί αυτή τη σύνδεση.
Ο διευθυντής ενός γυμνασίου μπορεί να πει: «Η ομάδα ποδοσφαίρου πρέπει να κερδίσει ένα από τα δύο πρώτα παιχνίδια της και να νικήσει τους αντιπάλους μας, τους Χόρνετς, στο τρίτο της παιχνίδι, διαφορετικά ο προπονητής θα απολυθεί». Αυτή η αξίωση μπορεί να γραφτεί λογικά ως (w1 + w2) * H + F, όπου “+” είναι η λογική πράξη “ή” και “*” είναι η λογική πράξη “και”. Η διαζευκτική κανονική μορφή για αυτήν την έκφραση είναι w1 *H + w2 *H + F. Η συνδετική κανονική της μορφή για είναι (w1 + w2 + F) * (H + F). Και οι τρεις αυτές εκφράσεις είναι αληθείς υπό τις ίδιες ακριβώς συνθήκες, επομένως είναι λογικά ισοδύναμες.
Οι μηχανικοί και οι φυσικοί χρησιμοποιούν επίσης κανονικές μορφές όταν εξετάζουν τα φυσικά συστήματα. Μερικές φορές ένα σύστημα θα είναι μαθηματικά παρόμοιο με ένα άλλο, παρόλο που δεν φαίνεται τίποτα το ίδιο. Οι εξισώσεις διαφορικού πίνακα που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση του ενός μπορεί να είναι πανομοιότυπες με εκείνες που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση του άλλου. Αυτές οι ομοιότητες γίνονται εμφανείς όταν τα συστήματα χυτεύονται σε κανονική μορφή, όπως παρατηρήσιμη κανονική μορφή ή ελεγχόμενη κανονική μορφή.