Η τυπική απόκλιση είναι ένας στατιστικός αριθμός που υπολογίζεται για να παρέχει τα συγκεκριμένα όρια ομαδοποιήσεων δεδομένων κάτω και πάνω από το μέσο όρο ενός ιδανικού πληθυσμού εντός μιας κανονικής καμπύλης. Με άλλα λόγια, μια υπολογισμένη τυπική απόκλιση παρέχει τα όρια δεδομένων που υποδεικνύονται από τρεις ισαπέχουσες γραμμές εκατέρωθεν της μεσαίας γραμμής μιας καμπύλης καμπάνας. Οι περισσότερες διαδικασίες για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης χωρίς στατιστικά προγράμματα ή στατιστικούς αριθμομηχανές αναφέρονται ως διαδικασίες «ένα πέρασμα» ή «δύο περάσματα», αναφερόμενοι στον αριθμό χρόνου που κάθε αριθμός πρέπει να σημειωθεί και να χειριστεί ως μέρος της συνολικής λύσης. Παρά το γεγονός ότι πρέπει να αντιμετωπίσουμε κάθε αριθμό δεύτερη φορά, οι μέθοδοι υπολογισμού της τυπικής απόκλισης «δύο περασμάτων» εξηγούνται ευκολότερα χωρίς αναφορά ή κατανόηση του στατιστικού τύπου που πραγματικά υπολογίζεται. Οι καλύτερες συμβουλές για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης περιλαμβάνουν την εργασία με μικρότερες ποσότητες δεδομένων κατά την πρώτη εκμάθηση της διαδικασίας, χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα προβλήματος που μπορεί να αντιμετωπίσει ένας μαθητής στην πραγματική ζωή, γράφοντας όλα τα αριθμητικά και τους υπολογισμούς σας για να ελέγξετε ξανά για σφάλματα και να κατανοήσετε πώς μεμονωμένοι υπολογισμοί καταλήγουν στην τελική σας απάντηση.
Για να δημιουργήσετε ένα εύλογο παράδειγμα προβλήματος, εξετάστε το ενδεχόμενο να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση σε μια λίστα με 10 βαθμούς εξέτασης: 99, 78, 89, 71, 92, 88, 59, 68, 83 και 81.
Ο υπολογισμός γίνεται χρησιμοποιώντας έναν τύπο που είναι γνωστός ως μέθοδος Welford:
s = √ (1/n-1)(∑(x – µ)2
Οι μεταβλητές σε αυτή την εξίσωση είναι οι εξής:
s = τυπική απόκλιση
√ = τετραγωνική ρίζα ολόκληρου του υπολογισμού
n = ο αριθμός των τεμαχίων δεδομένων, για παράδειγμα, 10 βαθμοί δοκιμής
∑ = σύμβολο άθροισης που υποδεικνύει ότι όλα τα υπολογισμένα αποτελέσματα που θα ακολουθήσουν πρέπει να προστεθούν μαζί με απλή αριθμητική
x = καθένα από τα διαφορετικά τεμάχια δεδομένων, για παράδειγμα βαθμών δοκιμής: 99, 78, 89, κ.λπ.
μ = ο μέσος όρος ή ο μέσος όρος όλων των τμημάτων δεδομένων σας. για παράδειγμα και οι 10 βαθμοί του τεστ αθροίζονται και διαιρούνται με το 10
(x – μ)2 = τετραγωνισμός του αποτελέσματος της εξίσωσης ή πολλαπλασιασμός του αποτελέσματος με τον εαυτό του
Τώρα, καθώς λύνετε ορισμένες μεταβλητές, εισαγάγετε τις στην εξίσωση.
Το πρώτο βήμα είναι το πιο εύκολο. Ο παρονομαστής, n-1, του κλάσματος 1/n-1 μπορεί να λυθεί εύκολα. Με n ίσο με 10 βαθμούς δοκιμής, ο παρονομαστής θα είναι σαφώς 10 – 1 ή 9.
Το επόμενο βήμα είναι να ληφθεί ο μέσος όρος — ή ο μέσος όρος — όλων των βαθμών του τεστ προσθέτοντάς τους μαζί και διαιρώντας με τον αριθμό των βαθμών. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι μ = 80.8. Αυτή θα είναι η μεσαία γραμμή, ή ο μέσος όρος, που διχοτομεί το γράφημα της τυπικής καμπύλης σε δύο αμφίπλευρα μισά.
Στη συνέχεια, αφαιρέστε τη μέση τιμή — μ = 80.8 — από καθεμία από τις 10 βαθμούς δοκιμής και τετραγωνίστε καθεμία από αυτές τις αποκλίσεις σε ένα δεύτερο πέρασμα από τα δεδομένα. Ετσι,
99 – 80.8 = 18.2331.2478 – 80.8 = -2.87.8489 – 80.8 = 8.267.2471 – 80.8 = -9.896.0492 – 80.8 = 11.2125.4488 – 80.8 = 7.251.8459. = 80.8. 21.8475.2468 – 80.8 = 12.8163.8483 – 80.8 = 2.24.8481
Προσθέστε όλους αυτούς τους υπολογισμούς για να φτάσετε στο άθροισμα των δεδομένων όπως αντιπροσωπεύεται από ∑. Η βασική αριθμητική δείχνει τώρα ότι ∑ = 1,323.6
∑ τώρα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 1/9 καθώς ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος καθορίστηκε στο πρώτο βήμα του υπολογισμού της τυπικής απόκλισης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα προϊόν 147.07.
Τέλος, για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης απαιτείται η τετραγωνική ρίζα αυτού του γινόμενου να είναι 12.13.
Έτσι, για το παράδειγμά μας πρόβλημα σχετικά με την εξέταση με 10 βαθμούς τεστ που κυμαίνονται από 59 έως 99, η μέση βαθμολογία του τεστ ήταν 80.8. Ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης για το παράδειγμά μας είχε ως αποτέλεσμα την τιμή 12.13. Σύμφωνα με την αναμενόμενη κατανομή μιας κανονικής καμπύλης, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε ότι το 68 τοις εκατό των βαθμών θα βρισκόταν εντός μιας τυπικής απόκλισης του μέσου όρου (68.67 έως 92.93), το 95 τοις εκατό των βαθμών θα ήταν εντός δύο τυπικών αποκλίσεων του μέσου όρου (56.54 έως 105.06) και το 99.5 τοις εκατό των βαθμών θα είναι εντός τριών τυπικών αποκλίσεων από το μέσο όρο.