Η τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη επιφανειών ή αφηρημένων χώρων, όπου τα μετρήσιμα μεγέθη δεν είναι σημαντικά. Λόγω αυτής της μοναδικής προσέγγισης στα μαθηματικά, η τοπολογία μερικές φορές αναφέρεται ως γεωμετρία φύλλου καουτσούκ, επειδή τα σχήματα που εξετάζονται φαντάζονται ότι υπάρχουν σε απεριόριστα εκτατά φύλλα καουτσούκ. Στην τυπική γεωμετρία, τα θεμελιώδη σχήματα όπως ο κύκλος, το τετράγωνο και το ορθογώνιο αποτελούν τη βάση για όλους τους υπολογισμούς, αλλά, στην τοπολογία, η βάση είναι η συνέχεια και η θέση των σημείων το ένα σε σχέση με το άλλο.
Ένας τοπολογικός χάρτης μπορεί να έχει σημεία που μαζί θα συνθέτουν ένα γεωμετρικό σχήμα όπως ένα τρίγωνο. Αυτή η συλλογή σημείων αντιμετωπίζεται ως ένας χώρος που παραμένει αμετάβλητος. Ωστόσο, ανεξάρτητα από το πώς είναι στριμμένο ή τεντωμένο, όπως τα σημεία σε ένα φύλλο καουτσούκ, θα παρέμενε αμετάβλητο ανεξάρτητα από τη μορφή που ήταν. Αυτό το είδος εννοιολογικού πλαισίου για τα μαθηματικά χρησιμοποιείται συχνά σε περιοχές όπου παρατηρείται συχνά παραμόρφωση μεγάλης ή μικρής κλίμακας, όπως βαρυτικά πηγάδια στο διάστημα, ανάλυση φυσικής σωματιδίων σε υποατομικό επίπεδο και στη μελέτη βιολογικών δομών όπως η αλλαγή του σχήματος των πρωτεϊνών.
Η γεωμετρία της τοπολογίας δεν ασχολείται με το μέγεθος των χώρων, επομένως η επιφάνεια ενός κύβου έχει την ίδια τοπολογία με αυτή μιας σφαίρας, καθώς ένα άτομο μπορεί να τα φανταστεί να συστρέφονται για να μετατοπίζονται από το ένα σχήμα στο άλλο. Τέτοια σχήματα που μοιράζονται τα ίδια χαρακτηριστικά αναφέρονται ως ομοιομορφικά. Ένα παράδειγμα δύο τοπολογικών σχημάτων που δεν είναι ομοιομορφικά ή δεν μπορούν να αλλοιωθούν ώστε να μοιάζουν μεταξύ τους, είναι μια σφαίρα και ένας τόρος ή σχήμα ντόνατ.
Η ανακάλυψη των βασικών χωρικών ιδιοτήτων των καθορισμένων χώρων είναι πρωταρχικός στόχος στην τοπολογία. Ένας τοπολογικός χάρτης συνόλου βασικού επιπέδου αναφέρεται ως ένα σύνολο Ευκλείδειων χώρων. Οι χώροι κατηγοριοποιούνται με βάση τον αριθμό των διαστάσεων τους, όπου μια γραμμή είναι ένα διάστημα σε μια διάσταση και ένα επίπεδο ένα διάστημα σε δύο. Ο χώρος που βιώνουν τα ανθρώπινα όντα αναφέρεται ως τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος. Τα πιο περίπλοκα σύνολα χώρων ονομάζονται πολλαπλοί, οι οποίοι εμφανίζονται διαφορετικά σε τοπικό επίπεδο από ό,τι σε μεγάλη κλίμακα.
Τα πολλαπλά σύνολα και η θεωρία των κόμβων προσπαθούν να εξηγήσουν επιφάνειες σε πολλές διαστάσεις πέρα από αυτό που είναι αντιληπτό σε κυριολεκτικό ανθρώπινο επίπεδο και τα κενά συνδέονται με αλγεβρικά αμετάβλητα για να τα ταξινομήσουν. Αυτή η διαδικασία της θεωρίας της ομοτοπίας, ή η σχέση μεταξύ πανομοιότυπων τοπολογικών χώρων, ξεκίνησε από τον Henri Poincaré, έναν Γάλλο μαθηματικό που έζησε από το 1854 έως το 1912. Οι μαθηματικοί έχουν αποδείξει το έργο του Poincaré σε όλες τις διαστάσεις εκτός από τρεις, όπου τα πλήρη σχήματα ταξινόμησης για τοπολογίες παραμένουν άπιαστα.