Οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή κλάσματος και οι οποίοι είναι επίσης αδύνατο να καταγραφούν ως πλήρες δεκαδικό. Οι άνθρωποι εργάζονται με παράλογους αριθμούς από την ελληνική και τη ρωμαϊκή εποχή, και ένας αριθμός έχει εντοπιστεί από τους μαθηματικούς ανά τους αιώνες. Υπάρχει μια σειρά από ενδιαφέρουσες εφαρμογές και χρήσεις για παράλογους αριθμούς, που κυμαίνονται από απογοητευτικούς μαθητές μαθηματικών έως τη συμπλήρωση μιγαδικών εξισώσεων.
Οι λεγόμενοι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν όλοι να γραφτούν σε δεκαδική μορφή ή σε μορφή κλάσματος. Το ¾, για παράδειγμα, είναι ένας ρητός αριθμός, ο οποίος μπορεί επίσης να εκφραστεί ως .75. Όταν ένας αριθμός είναι παράλογος, δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με ακέραιους αριθμούς και ο αριθμός θα είναι αδύνατο να καταγραφεί σε δεκαδική μορφή. Το Pi είναι ένα διάσημο παράδειγμα ενός παράλογου αριθμού. Ενώ συχνά απλοποιείται στο 3.14 για τους σκοπούς των χονδρικών υπολογισμών, το pi δεν μπορεί στην πραγματικότητα να γραφτεί πλήρως σε δεκαδική μορφή επειδή το δεκαδικό είναι ατελείωτο.
Μερικά άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν την τετραγωνική ρίζα του δύο, τον αριθμό του Euler και τη χρυσή τομή. Για λόγους απλότητας, ορισμένοι από αυτούς τους αριθμούς γράφονται ως σύμβολα, όπως στην περίπτωση του «e» για τον αριθμό του Euler, και μερικές φορές θα αναπαρασταθούν σε μερική δεκαδική μορφή. Όταν ένας παράλογος αριθμός παρουσιάζεται σε δεκαδική μορφή, συνήθως χρησιμοποιούνται ελλείψεις μετά τον τελευταίο αριθμό στο δεκαδικό για να υποδείξουν ότι συνεχίζει, όπως στο 3.14… για το pi.
Οι άνθρωποι συχνά αρχίζουν να εργάζονται με αυτούς τους αριθμούς σε νεαρή ηλικία, αν και μπορεί να μην εισαχθούν συγκεκριμένα στις έννοιες των ορθολογικών και των παράλογων αριθμών παρά αργότερα. Το Pi είναι ένας από τους πρώτους παράλογους αριθμούς που πολλοί άνθρωποι μαθαίνουν, επειδή χρησιμοποιείται σε εξισώσεις για να βρουν το εμβαδόν και την περιφέρεια ενός κύκλου, και αυτές οι εξισώσεις συχνά αποτελούν μια εξαιρετική εισαγωγή σε πιο προχωρημένα μαθηματικά για μικρά παιδιά. Οι άνθρωποι εισάγονται επίσης στην έννοια σε πολλές από τις επιστήμες καθώς αρχίζουν να μαθαίνουν για τις εξισώσεις που χρησιμοποιούνται συνήθως.
Μπορεί να είναι δύσκολο να εργαστεί κανείς με αυτούς τους ασυνήθιστους αριθμούς σε μια βασική αριθμομηχανή, λόγω των περιορισμών της αριθμομηχανής. Συνήθως είναι απαραίτητο να έχετε μια προηγμένη επιστημονική ή γραφική αριθμομηχανή που να έχει προγραμματιστεί με αυτούς τους αριθμούς και τις τιμές τους.
Μερικοί μαθηματικοί κάνουν τη μελέτη αυτών των αριθμών έργο της ζωής τους. Αυτοί οι αριθμοί έχουν συχνά μια σειρά από συναρπαστικές ιδιότητες που είναι διασκεδαστικό να εξερευνούν άτομα που αγαπούν τα μαθηματικά και ένας μαθηματικός μπορεί επίσης να είναι σε θέση να βρει μια νέα εφαρμογή για έναν παράλογο αριθμό.