Η θεωρία του βέλτιστου ελέγχου χρησιμοποιείται σε μεγάλο βαθμό στην επιστήμη καθώς και στη μηχανική. Είναι μια μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης που χρησιμοποιείται συνήθως για τη δημιουργία πολιτικών ελέγχου. Ο Lev Pontryagin, μαζί με την ομάδα του στην πρώην Σοβιετική Ένωση, και ο Αμερικανός Richard Bellman είναι κυρίως υπεύθυνοι για τη θεωρία βέλτιστου ελέγχου. Ο γενικός στόχος της θεωρίας είναι να χρησιμοποιήσει διάφορες μεθόδους ανάλυσης για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ενός συστήματος διενεργώντας διαδικασίες δοκιμής και λάθους.
Η θεωρία βέλτιστου ελέγχου είναι χρήσιμη όταν προσπαθείτε να λύσετε προβλήματα συνεχούς βελτιστοποίησης χρόνου. Η θεωρία αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα με τον καθορισμό ενός νόμου ελέγχου για ένα υποθετικό σύστημα προκειμένου να επιτευχθεί ένα επίπεδο βέλτιστης. Ο βέλτιστος έλεγχος αποτελείται από ένα σύνολο διαφόρων εξισώσεων, οι οποίες περιγράφουν τις διαδρομές των μεταβλητών που φέρνουν το λειτουργικό κόστος στο ελάχιστο. Η συνάρτηση κόστους είναι βασικά μια συνάρτηση μεταβλητών που σχετίζονται με την κατάσταση και τον έλεγχο. Η θεωρία βέλτιστου ελέγχου χρησιμοποιεί την αρχή του μέγιστου Pontryagin, η οποία γενικά δηλώνει ότι μπορεί κανείς να λύσει το πρόβλημα βελτιστοποίησης P με τη χρήση μιας συνάρτησης Hamiltonian H σε μια περίοδο, η οποία είναι απαραίτητη προϋπόθεση. Η θεωρία μπορεί επίσης να εξαχθεί με την εξίσωση Hamilton-Jacobi-Bellman.
Προκειμένου να βοηθήσουμε ένα άτομο να κατανοήσει τη θεωρία βέλτιστου ελέγχου, χρησιμοποιείται συνήθως το παράδειγμα «οδήγηση του αυτοκινήτου σας μέσω ενός λοφώδους δρόμου». Φανταστείτε να ταξιδεύετε με ένα αυτοκίνητο σε έναν απόκρημνο δρόμο σε ευθεία γραμμή. Η θεωρία μπορεί να καθορίσει πώς θα πρέπει να επιταχύνει κανείς ώστε να ελαχιστοποιήσει τον απόλυτο χρόνο ταξιδιού. Σε μια τέτοια περίπτωση, το «σύστημα» αποτελείται από το όχημα και τον βραχώδη δρόμο και το κριτήριο βελτιστοποίησης είναι η ελαχιστοποίηση του χρόνου ταξιδιού. Τέτοια προβλήματα είναι γνωστό ότι περιλαμβάνουν περιορισμούς (π.χ. περιορισμός καυσίμου, όρια ταχύτητας). Ένα άλλο ερώτημα μπορεί να είναι η εύρεση τρόπου για το αυτοκίνητο να βελτιστοποιήσει την κατανάλωση καυσίμου ενώ είναι υποχρεωμένο να ολοκληρώσει μια συγκεκριμένη πορεία σε ένα δεδομένο χρονικό όριο.
Ένα άλλο παράδειγμα χρήσης της θεωρίας βέλτιστου ελέγχου είναι η επίλυση του κόστους ή της σκιώδης τιμής. Αποτελείται από την οριακή τιμή επέκτασης της μεταβλητής κατάστασης. Έχοντας λύσει αυτό, η βέλτιστη τιμή για τον έλεγχο μπορεί να σχηματίσει μια διαφορική εξίσωση υπό την προϋπόθεση της επίγνωσης του κόστους. Είναι σύνηθες για αυτήν τη στρατηγική να επιλύει περιοχές που περιγράφουν τον βέλτιστο έλεγχο και απομονώνουν τις πραγματικές τιμές επιλογής στο χρόνο.