Μια εφαπτομένη είναι μια γεωμετρική σχέση μεταξύ μιας ευθείας και μιας καμπύλης έτσι ώστε η καμπύλη και η ευθεία να μοιράζονται μόνο ένα κοινό σημείο. Η εφαπτομένη είναι πάντα στην εξωτερική ή κυρτή πλευρά της καμπύλης. Είναι αδύνατο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη στο εσωτερικό μιας καμπύλης ή κύκλου. Οι εφαπτομένες καθορίζουν την κλίση μιας καμπύλης σε ένα σημείο. Παίζουν ρόλο στη γεωμετρία, την τριγωνομετρία και τον λογισμό.
Κάθε κύκλος έχει άπειρο αριθμό εφαπτομένων. Οι τέσσερις εφαπτομένες ενός κύκλου που απέχουν 90 μοίρες μεταξύ τους αποτελούν ένα τετράγωνο που εγγράφει τον κύκλο. Με άλλα λόγια, ένας κύκλος μπορεί να σχεδιαστεί μέσα σε ένα ακριβές τετράγωνο και θα αγγίζει το τετράγωνο σε τέσσερα σημεία. Η γνώση αυτού είναι χρήσιμη για την επίλυση πολλών γεωμετρικών προβλημάτων που αφορούν περιοχές.
Οι σφαίρες μπορεί επίσης να έχουν μια εφαπτομένη γραμμή, αν και είναι πιο συνηθισμένο να μιλάμε για ένα εφαπτομένο επίπεδο που μοιράζεται μόνο ένα κοινό σημείο με τη σφαίρα. Ένας άπειρος αριθμός εφαπτομένων γραμμών θα μπορούσε να περάσει από αυτό το σημείο τομής και όλες θα περιέχονταν στο εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτές οι έννοιες χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν όγκους. Μια σφαίρα μπορεί να τοποθετηθεί μέσα σε έναν κύβο. Εάν η διάμετρος του κύβου ισούται με το μήκος της πλευράς του κύβου, να θυμάστε ότι όλες οι πλευρές είναι ίδιες σε έναν κύβο, η σφαίρα θα μοιράζεται έξι κοινά σημεία με τον κύβο.
Στην τριγωνομετρία, η εφαπτομένη μιας γωνίας ενός τριγώνου ορίζεται ως ο λόγος του μήκους της απέναντι πλευράς προς το μήκος της διπλανής πλευράς. Το τρίγωνο σχηματίζεται από τις ακτίνες δύο ακτίνων από το κέντρο ενός κύκλου. Η πρώτη ακτίνα σχηματίζει τη βάση του τριγώνου και η δεύτερη ακτίνα εκτείνεται για να τέμνεται με την εφαπτομένη της πρώτης. Η κλίση ορίζεται συχνά ως άνοδος κατά τη διάρκεια της διαδρομής. Έτσι, η εφαπτομένη, ή η κλίση, της γραμμής που συνδέει τις δύο ακτίνες είναι ίδια με την τριγωνομετρική ταυτότητα.
Όταν εξετάζουμε μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη, εκτός εάν η καμπύλη είναι το τόξο ενός κύκλου, ένας παρατηρητής πρέπει να σημειώσει το σημείο τομής. Αυτό συμβαίνει γιατί η καμπύλη δεν είναι σταθερής ακτίνας. Ένα παράδειγμα αυτού μπορεί να είναι η διαδρομή πτήσης ενός μπέιζμπολ μετά από χτύπημα από ρόπαλο.
Η μπάλα θα επιταχυνθεί μακριά από το ρόπαλο αλλά στη συνέχεια θα φτάσει στην κορυφή της και θα κατέβει λόγω της βαρύτητας. Η διαδρομή πτήσης θα έχει σχήμα παραβολής. Η εφαπτομένη στην καμπύλη σε οποιοδήποτε σημείο θα δώσει την ταχύτητα της μπάλας εκείνη τη στιγμή.
Αυτή η μαθηματική περιγραφή της κλίσης μιας καμπύλης ασταθούς καμπυλότητας είναι κρίσιμη για τη μελέτη του λογισμού. Ο λογισμός επιτρέπει σε κάποιον να δει τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής σε μια χρονική στιγμή. Αυτό είναι χρήσιμο για τον έλεγχο των ρυθμών αντίδρασης των διεργασιών, της κατανάλωσης καυσίμου πυραύλων για εκτοξεύσεις διαστημικών σκαφών ή ακριβώς πού να πιάσετε ένα μπέιζμπολ.