Teorema lui Bayes, numită uneori regula lui Bayes sau principiul probabilității inverse, este o teoremă matematică care decurge foarte repede din axiomele teoriei probabilităților. În practică, este utilizat pentru a calcula probabilitatea actualizată a unui fenomen țintă sau a ipotezei H, având în vedere noi date empirice X și unele informații de fond sau probabilitatea anterioară.
Probabilitatea anterioară a unei ipoteze este de obicei reprezentată de un anumit procent între 0% și 100%, sau de un număr între 0 și 1. Această probabilitate este adesea numită grad de încredere și este menită să varieze de la observator la observator, deoarece nu toți observatorii au avut aceeași experiență și, prin urmare, nu pot face estimări de probabilitate echivalente pentru orice ipoteză dată. Aplicarea teoremei lui Bayes într-un context științific se numește inferență bayesiană, care este o formalizare cantitativă a metodei științifice. Permite revizuirea optimă a distribuțiilor de probabilitate teoretice având în vedere rezultatele experimentale.
Teorema lui Bayes în contextul inferenței științifice spune următoarele: „Noua probabilitate ca o ipoteză H să fie adevărată (numită probabilitate posterioară) având în vedere noi dovezi X este egală cu probabilitatea ca noi să observăm această dovadă X dat fiind că H este de fapt adevărată. (numită probabilitate condiționată, sau probabilitate), ori probabilitatea anterioară ca H să fie adevărată, toate împărțite la probabilitatea lui X.”
O reformulare comună a celor de mai sus în ceea ce privește modul în care rezultatul unui test contribuie la probabilitatea ca un anumit pacient să aibă cancer poate fi prezentată după cum urmează:
p(pozitiv|cancer)*p(cancer)
_______________________________________________
p(pozitiv|cancer)*p(cancer) + p(pozitiv|~cancer)*p(~cancer)
Bara verticală înseamnă „dat”. Probabilitatea ca pacientul să aibă cancer după un rezultat pozitiv la un anumit test de cancer este echivalentă cu probabilitatea ca un rezultat pozitiv dat cancer (derivat din rezultatele anterioare) ori probabilitatea anterioară ca orice persoană dată să aibă cancer (relativ scăzut), toate împărțite la aceea același număr, plus probabilitatea unui fals pozitiv înmulțit cu probabilitatea anterioară de a nu avea cancer.
Sună complicat, dar ecuația de mai sus poate fi utilizată pentru a determina probabilitatea actualizată a oricărei ipoteze având în vedere orice rezultat experimental cuantificabil.