Ένα πολυώνυμο είναι μια μαθηματική έκφραση πεπερασμένου μήκους. Αποτελείται τόσο από μεταβλητές όσο και από σταθερές. Αυτές οι μεταβλητές και οι σταθερές μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Μπορούν επίσης να αυξηθούν σε εκθέτες, εφόσον αυτοί οι εκθέτες είναι ακέραιοι αριθμοί.
Στα μαθηματικά και στην επιστήμη, τα πολυώνυμα είναι εξαιρετικά σημαντικά. Χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία μοντέλων πωλήσεων στις επιχειρήσεις και για τη μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων στη φυσική και τη χημεία. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις αποτελούν επίσης τη βάση για μεγάλο μέρος του λογισμού. Τα παράγωγα και τα ολοκληρώματα πολυωνυμικών συναρτήσεων παρέχουν πληροφορίες σε επιστήμονες, οικονομολόγους, γιατρούς και άλλους σχετικά με τους ρυθμούς μεταβολής.
Τα πολυώνυμα παίρνουν τη μορφή anxn+…+a2x2+a1x+a0 και είναι διατεταγμένα σε όρους, που μερικές φορές ονομάζονται μονώνυμα. Ένας όρος είναι ένα τμήμα ενός πολυωνύμου που πολλαπλασιάζεται μαζί και τυπικά αποτελείται από μια σταθερά πολλαπλασιαζόμενη με έναν εκθέτη που αυξάνεται σε μια ισχύ. Για παράδειγμα, το 3×2 είναι ένας όρος και το 3×2+2x+5 είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από τρεις όρους. Οι όροι ταξινομούνται από το υψηλότερο στο χαμηλότερο ανάλογα με το βαθμό, τον αριθμό του εκθέτη σε μια μεταβλητή.
Όπως μαθαίνουν πολλοί μαθητές γυμνασίου, τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται συχνά σε εξισώσεις, στις οποίες δύο πολυώνυμα τίθενται ίσα μεταξύ τους. Γενικά, ο στόχος μιας πολυωνυμικής εξίσωσης είναι να βρει την τιμή ή τις τιμές της μεταβλητής ή των μεταβλητών. Η επίλυση αυτών των εξισώσεων μπορεί να δώσει πληροφορίες όπως ο χρόνος ή η απόσταση σε πρακτικά σενάρια που σχετίζονται με τη φυσική.
Οι γραφικές παραστάσεις χρησιμοποιούνται συχνά στη μελέτη πολυωνυμικών συναρτήσεων, οι οποίες έχουν τη μορφή f(x)= anxn+…+a2x2+a1x+a0. Η τιμή της μεταβλητής, x, καθορίζει την τιμή της συνάρτησης στο σύνολό της, f(x). Οι γραφικές παραστάσεις πολυωνυμικών συναρτήσεων μπορεί να ποικίλουν σε σχήμα από παραβολές έως περίπλοκες σειρές καμπυλών ανάλογα με το βαθμό και την πολυπλοκότητα της συνάρτησης. Τέτοιες οπτικές αναπαραστάσεις κάνουν την κατανόηση της σημασίας της συνάρτησης πολύ πιο εύκολη, καθώς σχεδιάζουν όλες τις τιμές του f(x) με βάση τις τιμές του x σε μια δεδομένη περιοχή.
Τα πολυμεταβλητά πολυώνυμα περιλαμβάνουν περισσότερες από μία μεταβλητές. Μπορούν να περιλαμβάνουν οποιονδήποτε αριθμό μεταβλητών και γενικά γίνονται πιο περίπλοκες όσο αυξάνεται ο αριθμός. Γενικά, λίγη προσοχή δίνεται στα πολυμεταβλητά πολυώνυμα στο γυμνάσιο. Συνήθως παρουσιάζονται σε τάξεις λογισμού ανώτερου επιπέδου κολεγίου που ασχολούνται με τρισδιάστατα σχήματα ή αναλύσεις πολλών διαφορετικών μορφών συνδυασμένων δεδομένων.
Τα πολυώνυμα έχουν χρησιμοποιηθεί για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα και αποτελούν αναπόσπαστο μέρος των σύγχρονων μαθηματικών. Οι πολλές μορφές τους θέτουν τα θεμέλια για την αναπαράσταση αμέτρητων μοντέλων στις επιχειρήσεις, την επιστήμη, την οικονομία και άλλους τομείς.