Η ανταλλακτική ιδιότητα είναι μια αρχαία ιδέα στα μαθηματικά που εξακολουθεί να έχει πολλές χρήσεις σήμερα. Ουσιαστικά εκείνες οι πράξεις που εμπίπτουν στην ανταλλακτική ιδιότητα είναι ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση. Όταν προσθέτετε 2 και 3 μαζί, δεν έχει σημασία με ποια σειρά θα τα προσθέσετε. Ομοίως, όταν πολλαπλασιάσετε το 2 και το 3 μαζί, θα έχετε τα ίδια αποτελέσματα είτε λέτε 2 φορές 3 είτε 3 φορές 2.
Αυτά τα γεγονότα εκφράζουν τις βασικές αρχές της ανταλλακτικής ιδιότητας. Όταν η σειρά δύο αριθμών σε μια πράξη δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα, τότε η πράξη μπορεί να είναι ανταλλακτική. Η έννοια αυτού του ακινήτου ήταν κατανοητή εδώ και χιλιετίες, αλλά το όνομά του δεν χρησιμοποιήθηκε πολύ μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα. Η εναλλαγή μπορεί να οριστεί ως η τάση αλλαγής ή αντικατάστασης.
Στα βασικά μαθήματα μαθηματικών, οι μαθητές μπορούν να μάθουν για την ιδιότητα αντικατάστασης όπως αυτή ισχύει για τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση. Ακόμη και στις μεταγενέστερες τάξεις του δημοτικού οι μαθητές μπορεί να μελετούν τη μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης με τύπους όπως a + b = b + a. Εναλλακτικά, μπορούν γρήγορα να δεσμεύσουν στη μνήμη ότι axb = bx a. Οι μαθητές συχνά μαθαίνουν μια σχετική ιδιότητα που ονομάζεται συσχετιστική ιδιότητα, η οποία αφορά επίσης τη σειρά στον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση. Συνήθως η συσχετιστική ιδιότητα χρησιμοποιείται για να δείξει ότι η σειρά περισσότερων από δύο ψηφίων που χρησιμοποιούν την ίδια πράξη (πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό) δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα: π.χ., a + b + c = c + b + a και είναι επίσης ίση με b + a + γ.
Ορισμένες πράξεις στα μαθηματικά ονομάζονται μη μεταθετικές. Η αφαίρεση και η διαίρεση εμπίπτουν σε αυτόν τον τίτλο. Δεν μπορείτε να αλλάξετε τη σειρά ενός προβλήματος αφαίρεσης, εκτός εάν τα ψηφία είναι ίσα μεταξύ τους και να έχετε τα ίδια αποτελέσματα. Εφόσον το α δεν ισούται με το β, το α – β δεν είναι ίσο με το β – α. Αν τα α και β είναι 3 και 2, το 3 – 2 ισούται με 1 και 2 – 3 = -1. Τα 3/2 δεν είναι ίδια με τα 2/3.
Πολλοί μαθητές μαθαίνουν τη μεταθετική ιδιότητα την ίδια στιγμή που μαθαίνουν την έννοια της σειράς πράξεων. Όταν κατανοήσουν αυτήν την ιδιότητα, μπορούν να καταλάβουν εάν ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να λυθεί με μια συγκεκριμένη σειρά ή εάν η σειρά μπορεί να αγνοηθεί επειδή η πράξη είναι ανταλλακτική. Αν και αυτή η ιδιότητα μπορεί να φαίνεται αρκετά βασική για την κατανόηση, υποστηρίζει πολλά από αυτά που γνωρίζουμε και υποθέτουμε για τη φύση των μαθηματικών. Όταν οι μαθητές μελετούσαν πιο προχωρημένα μαθηματικά, θα δουν πιο περίπλοκες εφαρμογές της ιδιότητας σε δράση.